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相关试卷

1、已知 $| \vec{a} | = 2, \vec{b} = (\sqrt{2}, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1, | \vec{c} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} - \vec{c}, \vec{b} - \vec{c} 〉 =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3、在凸四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{7}, ∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、若 $B D = 2 \sqrt{7}, c o s ∠ A B D = \frac{1}{7}$ .求 $C D$ 的长；

(2)、若四边形 $A B C D$ 有外接圆，求 $A D + C D$ 的最大值.

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4、海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点 $A$ 处测得塔顶 $D$ 的仰角为 $4 5^{°}$ ，然后沿点 $A$ 向塔的正前方走了38m到达点 $B$ 处，此时测得塔顶 $D$ 的仰角为 $7 5^{°}$ ，据此可估计海宝塔的高度约为m.（计算结果精确到0.1）

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $c = 2$ ， $b = 4$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，则 $B C$ 边上的中线 $A D$ 长为 $\sqrt{7}$ B、若 $B = \frac{π}{3}$ ， $b = 2$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两个解 C、若 $△ A B C$ 不是直角三角形，则一定有 $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$ D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则一定有 $s i n A + s i n B + s i n C > c o s A + c o s B + c o s C$

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6、在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， $2 a c o s A = b c o s C + c c o s B$ ，且 $a = 4 s i n A$ ，则△ABC周长的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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7、 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $c o s 2 B + c o s 2 C - c o s 2 A$ $= 1 - 2 s i n B s i n C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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8、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，若b=2，且 $c o s C = \frac{a}{2} - \frac{c}{4}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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9、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ，则 $A B + \sqrt{3} B C$ 的最大值为．

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10、在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，设△ABC的面积为S ，其中 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b^{2} + c^{2} = 24$ ，则S的最大值为．

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11、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 6 0^{∘}, A B = 6, A C = 3$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ ，则 $A D =$ .

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12、如图，为了测量障碍物两侧A ， B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（）

A、a ， b ， $γ$ B、 $α$ ， $β$ ， $γ$ C、a ， $β$ ， $γ$ D、 $α$ ， $β$ ， b

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13、某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有

A、在水平地面上任意寻找两点 $A$ ， $B$ ，分别测量旗杆顶端的仰角 $α$ ， $β$ ，再测量 $A$ ， $B$ 两点间距离 B、在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为 $h$ ，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角 $α$ 和 $β$ C、在地面上任意寻找一点 $A$ ，测量旗杆顶端的仰角 $α$ ，再测量 $A$ 到旗杆底部的距离 D、在旗杆的正前方 $A$ 处测得旗杆顶端的仰角 $α$ ，正对旗杆前行5m到达 $B$ 处，再次测量旗杆顶端的仰角 $β$

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14、如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 23 °$ ， $∠ C D B = 30 °$ ， $C D = 11.2 m$ ，在 $C$ 点测得甲秀楼顶端 $A$ 的仰角为 $72.4 °$ ，则甲秀楼的高度约为（参考数据： $t a n 72.4 ° \approx 3.15$ ， $s i n 53 ° \approx 0.8$ ）（）

A、 $20 m$ B、 $21 m$ C、 $22 m$ D、 $23 m$

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15、在锐角△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $c = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则a的取值范围为（）

A、 $(0, 4 \sqrt{3})$ B、 $(2, 4 \sqrt{3})$ C、 $(2 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3})$ D、 $(0, 2 \sqrt{3})$

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16、湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底， $A, C, D$ 在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得 $C D = 18 m, A D = 15 m$ ，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（）（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，精确到 $0.1 m$ ）

A、 $35.0 m$ B、 $36.4 m$ C、 $38.4 m$ D、 $39.6 m$

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 7$ ， $b = 3$ ， $c = 5$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、 $△ A B C$ 为直角三角形 C、 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、 $△ A B C$ 的形状无法确定

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18、十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆 $A B$ 和横档 $C D$ 构成，并且 $E$ 是 $C D$ 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从 $A$ 点观察．滑动横档 $C D$ 使得 $A$ ， $C$ 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点 $D$ ， $D E$ 的影子恰好是 $A E$ ．然后，通过测量 $A E$ 的长度，可计算出视线和水平面的夹角 $∠ C A D$ （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

(1)、在某次测量中， $A E = 40$ ，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．

(2)、在杆 $A B$ 上有两点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 满足 $A A_{1} = \frac{1}{2} A A_{2}$ ．当横档 $C D$ 的中点 $E$ 位于 $A_{i}$ 时，记太阳高度角为 $α_{i} (i = 1, 2)$ ，其中 $α_{1}$ ， $α_{2}$ 都是锐角．证明： $α_{1} < 2 α_{2}$ ．

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19、（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ， $A D = C D = 2$ .

(1)、当四边形 $A B C D$ 内接于圆O时，求角C；

(2)、当四边形 $A B C D$ 面积最大时，求对角线 $B D$ 的长.

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20、已知 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $s i n 2 C + 2 \sqrt{3} s i n^{2} C = \sqrt{3}, C \in (0, \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $a = \sqrt{3}, b = 4$ ，求c的值以及 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\vec{B M} = λ \vec{B C} (0 < λ < 1), t a n ∠ B A C = - \frac{\sqrt{14}}{2}$ ，求 $c o s ∠ B A C$ 的值以及 $\frac{A M}{C M}$ 的取值范围．

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