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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交双曲线的右支于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，且满足 $\vec{B F_{2}} = \frac{5}{8} \vec{F_{2} A}$ ， $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{1} B} = 0$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{5 \sqrt{26}}{13}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{13}}{13}$

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2、已知奇函数 $f (x)$ 与偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = e^{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${[f (2024)]}^{2} - {[g (2024)]}^{2} = 1$ B、 $f (2024) = f (1012) g (1012)$ C、 $g (2024) = {[f (1012)]}^{2} + {[g (1012)]}^{2}$ D、 $f (2024) - g (2024) = e^{- 2024}$

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3、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} (n \geq 2, n \in N *)$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、81 B、54 C、32 D、 $\frac{1}{81}$

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4、已知点 $M$ 在圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ 上，点 $A (0, - 2)$ ， $B (- 2, 0)$ ，则当 $∠ M A B$ 最大时， $|M A| =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{30}$ D、6

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5、某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，则教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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6、若 $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，且 $\tan θ = - \sqrt{15}$ ，则 $\cos \frac{θ}{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{10}}{4}$

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7、已知圆锥的底面圆的面积为 $3 π$ ，侧面展开图为一个扇形，其面积为 $9 π$ ，则该圆锥的母线长为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、设集合 $U = R$ ，集合 $M = \{x| x^{2} - x - 2 \leq 0\}$ ， $N = \{- 2, - 1, 0, 1\}$ ，则 $\{- 2\} =$ （）

A、 $M \cap ∁_{U} N$ B、 $∁_{U} (M \cup N)$ C、 $∁_{U} (M \cap N)$ D、 $N \cap ∁_{U} M$

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9、设集合 $A = {x | x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x - 5 \leq 0}$ .
（1）若 $m = 5$ ，求 $A \cap B$ ；
（2）若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

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10、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C上的动点，则下列结论正确的是（）．

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 10$ B、P到 $F_{1}$ 最小的距离是2 C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为6 D、P到 $F_{1}$ 最大的距离是9

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11、在边长为2的正三角形 $A B C$ 中，D为BC的中点， $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} =$ .

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12、定义：若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两个点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 满足 $\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 0$ ，则称 $A, B$ 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 $[A, B]$ ．已知椭圆 $C$ 的一个焦点坐标为 $F_{1} (- 1, 0)$ ，且椭圆过点 $A (1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求证：有两个点 $B$ 满足“共轭点对” $[A, B]$ ，并求出 $B$ 的坐标；

(3)、设（2）中的两个点 $B$ 分别是 $B_{1}, B_{2}$ ，设 $O$ 为坐标原点，点 $P, Q$ 在椭圆 $C$ 上，且 $B_{1}, P$ ， $B_{2}, Q$ 顺时针排列且 $P Q ∥ O A$ ，证明：四边形 $B_{1} P B_{2} Q$ 的面积小于 $4 \sqrt{3}$ ．

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13、如果n项有穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a_{n}$ ， $a_{2} = a_{n - 1}$ ， …， $a_{n} = a_{1}$ ，即 $a_{i} = a_{n - i + 1} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则称有穷数列 $\{a_{n}\}$ 为“对称数列”.

(1)、设数列 $\{b_{n}\}$ 是项数为7的“对称数列”，其中 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 成等差数列，且 $b_{2} = 3, b_{5} = 5$ ，依次写出数列 $\{b_{n}\}$ 的每一项；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 是项数为 $2 k - 1$ ( $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ )的“对称数列”，且满足 $|c_{n + 1} - c_{n}| = 2$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
①若 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， …， $c_{k}$ 构成单调递增数列，且 $c_{k} = 2023$ .当 $k$ 为何值时， $S_{2 k - 1}$ 取得最大值?
②若 $c_{1} = 2024$ ，且 $S_{2 k - 1} = 2024$ ，求 $k$ 的最小值.

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14、如图，已知菱形 $A B C D$ 和菱形 $A D E F$ 的边长均为 $2$ ， $∠ F A D = ∠ B A D = 60 °, B F = \sqrt{3}$ ， $M, N$ 分别为 $A E, B D$ 上的动点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A E}, \vec{B N} = λ \vec{B D} (0 < λ < 1)$ ．

(1)、证明： $M N //$ 平面 $C D E$ ；

(2)、当 $M N$ 的长度最小时，求：
① $λ$ ；
②点 $C$ 到平面 $M N D$ 的距离．

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c, c = 4, a b = 9$ ．

(1)、若 $sin C = \frac{2}{3}$ ，求 $sin A \cdot sin B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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16、在n维空间中（ $n \geq 2$ ， $n \in N$ ），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ .则5维“立方体”的顶点个数是；定义：在n维空间中两点 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 与 $(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 的曼哈顿距离为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + \dots + |a_{n} - b_{n}|$ .在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 $E (X) =$ .

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17、某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为 $l$ ，左右两端均为半球形，其半径为 $r$ ，若其体积为定值 $V$ ，则胶囊的表面积取最小值时 $r =$ .

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18、已知 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{3}{4}$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{6}) =$ .

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19、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $9 0^{\circ} ､ 18 0^{\circ} ､ 27 0^{\circ}$ 后所得三条曲线与 $C$ 围成的（如图阴影区域）， $A, B$ 为 $C$ 与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 2$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、阴影区域的面积大于4

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20、沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的 $\frac{19}{54}$ ，则沙子堆积成的圆台的高为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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