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相关试卷

1、某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.

(1)、求小明同学在一轮比赛中所得积分 $X$ 的分布列和期望；

(2)、规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？

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2、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} S_{n + 1} - a_{n + 1} S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n^{2} + n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最小值.

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A A_{1} = A B$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ A B_{1}$ .

(2)、若 $A A_{1} = A B = 2$ ， $B C = 1$ ，点E是线段 $B B_{1}$ 上一动点，当直线 $A E$ 与平面 $A_{1} C B_{1}$ 所成角正弦值为 $\frac{1}{5}$ 时，求点E的位置.

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4、在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $(b - c) sin (A + B) = (b - a) (sin A + sin B)$ .

(1)、求A的大小：

(2)、设 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，点D在边 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ ，求 $A D$ 的最小值.

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5、已知函数 $f (x) = e^{x} + x - a x - \ln a x$ 有正零点 $x_{0}$ ，则正实数 $a$ 的取值范围为．

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6、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，一条光线从点 $A (2, 0)$ 时出，经直线 $y = x$ 反射后，与圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，写出一条反射后光线所在直线的方程.

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7、若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $b + c = 3 a^{2} - 4 a + 6$ ， $b - c = a^{2} - 4 a + 4$ ，试确定 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是.

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{5} = 1$ ， $a_{9} = 81$ ，则 $a_{7} =$ .

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9、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{3} = \frac{1}{4}$ B、数列 $\{P_{n} - \frac{1}{3}\}$ 为等比数列 C、 $P_{n} = \frac{2}{3} \times {(\frac{1}{2})}^{n} + \frac{1}{3}$ D、第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种

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10、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E、F、G、H分别为棱 $C C_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 、 $A_{1} D_{1}$ 、 $A B$ 的中点，点M为棱 $A_{1} B_{1}$ 上动点，则（）

A、点E、F、G、H共面 B、 $|G M| + |M H|$ 的最小值为 $1 + \sqrt{5}$ C、点B到平面 $A B_{1} C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $D E ⊥ A_{1} H$

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11、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{7 π}{12}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、把 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到一个奇函数的图象

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12、某同学高三上学期5次月考数学成绩分别为90，100，95，110，105，则（）

A、5次月考成绩的极差为15 B、5次月考成绩的平均数为100 C、5次月考成绩的方差为50 D、5次月考成绩的40%分位数为95

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为该椭圆的左，右焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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14、西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为 $α$ ，塔底C点的仰角为 $β$ .已知山岭高CD为h，则塔高BC为（）

A、 $\frac{h sin (α - β)}{cos α sin β}$ B、 $\frac{h sin (α - β)}{sin α sin β}$ C、 $\frac{h sin α sin β}{sin (α - β)}$ D、 $\frac{h cos α sin β}{sin (α - β)}$

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15、安顺市第三届运动会于2023年11月8日至11月10日在安顺奥体中心举行.某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（）

A、18种 B、24种 C、36种 D、72种

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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17、若集合 $A = \{x| \log_{3} x > 0\}, B = \{0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{3\}$

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 1)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x, C$ 的焦距为 $t$ ，且 $a^{4} + b^{4} + 4 = t^{2}$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 为 $C$ 上的一点，且 $P$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 外一点，过 $P$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ （斜率都存在）， $l_{1}$ 与 $C$ 交于另一点 $M, l_{2}$ 与 $C$ 交于另一点 $N$ ，证明：
（i） $l_{1}, l_{2}$ 的斜率之积为定值；
（ii）存在定点 $A$ ，使得 $M, N$ 关于点 $A$ 对称.

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19、随着温度降低，各种流行病毒快速传播.为了增强员工预防某病毒的意识，某单位决定先对员工进行病毒检测，为了提高检测效率，决定将员工分为若干组，对每一组员工的血液样本进行混检（混检就是将若干个人被采集的血液样本放到一个采集管中（采集之前会对这些人做好信息登记））.检测结果为阴性时，混检样本均视为阴性，代表这些人都未感染：如果出现阳性，相关部门会立即对该混检管的所有受试者暂时单独隔离，并重新采集该混检管的所有受试者的血液样本进行一一复检，直至确定其中的阳性.已知某单位共有N人，决定n人为一组进行混检，

(1)、若 $N = 4, n = 2$ ，每人被病毒感染的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，记检测的总管数为X，求X的分布列：

(2)、若 $N = 18, n = 3$ .每人被病毒感染的概率均为0.1，记检测的总管数为Z，求Z的期望.

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20、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D E ∥ B F$ ， $A D = D E = 2$ ， $B F = 1$ ， $∠ B A D = 60 °$ .

(1)、证明：平面 $F A C ⊥$ 平面 $B D E F$ ；

(2)、试问线段 $C D$ 上是否存在一点 $P$ ，使得平面 $A E F$ 与平面 $B F P$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ？若存在，请判断点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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