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相关试卷

1、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E, F, G$ 分别为 $B C, C C_{1}, B B_{1}$ 的中点．则下列结论正确的是（）

A、直线 $D B_{1}$ 与平面 $A E F$ 垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 C、三棱锥 $D - A E F$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ D、点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离为 $\frac{4}{3}$

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2、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} < 0$ ， $S_{6} = S_{13}$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 B、 $a_{10} = 0$ C、 $S_{9}$ 是 $S_{n}$ 中最小项 D、 $S_{2} < S_{16}$

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3、已知点 $M$ 椭圆 $C : 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ 上一点，椭圆 $C$ 的焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长是9 B、椭圆 $C$ 焦距是 $2 \sqrt{5}$ C、存在 $M$ 使得 $∠ F_{1} M F_{2} = 90^{\circ}$ D、三角形 $M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是 $2 \sqrt{5}$

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4、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 + \frac{n}{a_{n}}$ ，若 $a_{n} = 46$ ， $a_{1} = 1$ ，则n的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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5、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ ，点 $A (m, m - 3)$ ，则点 $A$ 到圆 $C$ 上点的最小距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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6、攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为 $6$ ，顶角为 $\frac{2 π}{3}$ 的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）

A、 $3 \sqrt{3} π$ B、 $6 \sqrt{3} π$ C、 $12 \sqrt{3} π$ D、 $6 π$

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7、等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 3 a_{1}$ ，则 $\frac{a_{6}}{a_{3}} =$ （）

A、 $- 8$ B、8 C、1或 $- 8$ D、 $- 1$ 或 $8$

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8、椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，椭圆上的点 $P_{1}$ 与 $P_{2}$ 关于坐标原点对称，则 $| P_{1} F | + | P_{2} F |$ 的值是（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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9、空间直角坐标系中，点 $B$ 是点 $A (3 ， 4 ， 5)$ 在坐标平面 $O x y$ 内的射影，则 $|\vec{O B}| =$ （）

A、 $5$ B、 $25$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $\sqrt{41}$

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10、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} + 4}{2^{n} a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{1} = 1, c_{n} c_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n + 1} + 1$ ，求证： $\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + \dots + \frac{1}{c_{n}} > 2 \sqrt{n + 2} - 3$

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11、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是菱形， $A B = 2, ∠ B A D = 60 °$ ，对角线 $A C, B D$ 交于点 $O, P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $α$ 是过直线 $A B$ 的一个平面，与棱 $P C, P D$ 交于点 $E, F$ ，且 $P E = \frac{1}{4} P C$ ．

(1)、求证： $E F / / C D$ ；

(2)、若平面 $α$ 交 $P O$ 于点 $T$ ，求 $\frac{P T}{P O}$ 的值；

(3)、若二面角 $E - A B - C$ 的大小为 $45 °$ ，求 $P O$ 的长．

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12、已知以点 $A (- 1, 2)$ 为圆心的圆与直线 $l_{1} : x + 2 y - 13 = 0$ 相切，过点 $B (2, 3)$ 斜率为 $k$ 的直线 $l_{2}$ 与圆 $A$ 相交于 $M, N$ 两点，

(1)、求圆 $A$ 的方程；

(2)、当 $|M N| = 2 \sqrt{19}$ 时，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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13、如图，已知圆柱下底面圆的直径 $A B = 6$ ，点 $C$ 是下底面圆周上异于 $A, B$ 的动点，圆柱的两条母线 $C D = B E = 3$ ．

(1)、求证：平面 $A C D ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求四棱锥 $A - B C D E$ 体积的最大值．

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14、在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增 $5 %$ ，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．

(1)、若此人选择在一家公司连续工作 $n$ 年，第 $n$ 年的月工资是分别为多少？

(2)、若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（ ${1.05}^{10} \approx 1.6$ ）．

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}, F$ 为椭圆 $C$ 的一个焦点，若 $F$ 关于直线 $y = k x$ 的对称点恰好在椭圆 $C$ 上，则斜率 $k$ 的取值构成的集合为．

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16、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E, F, G, H$ 分别是 $A B, B C, C D, D A$ 上的点，且 $\frac{A E}{E B} = \frac{A H}{H D} = \frac{C F}{F B} = \frac{C G}{G D} = \frac{1}{2}, M$ 是 $E G$ 和 $F H$ 的交点，以 $\{\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}\}$ 为基底表示 $\vec{A M}$ ，则 $\vec{A M} =$ ．

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17、任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数 $m = 6$ ，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列 $\{a_{n}\}$ 满足冰雹猜想，其递推关系为： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n}, 当 a_{n} 为偶数时, \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 . \end{matrix}$ 若 $a_{4} = 1$ ，则 $m$ 所有可能的取值为．

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18、曲线 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为．

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19、“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为 $6 cm$ ，重量为 $360 g$ 的实心玩具，则下列说法正确的是（）

A、将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为 $6 \sqrt{2} cm$ . B、将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为 $4 \sqrt{2} cm$ . C、将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为 $3 \sqrt{10} cm$ . D、将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.

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20、已知抛物线 $Γ : x^{2} = 2 p y$ 的准线方程为 $y = - 1$ ，焦点为 $F$ ，点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2} y_{2})$ 是抛物线上的两点，抛物线在 $A, B$ 两点的切线交于点 $P$ ，则下列结论一定正确的（）

A、抛物线的方程为： $x^{2} = 4 y$ B、 $|A F| = y_{1} + 1$ C、当直线 $A B$ 过焦点时，三角形 $O A B$ 面积的最小值为1 D、若 $|A B| = \frac{\sqrt{3}}{2} (y_{1} + y_{2} + 2)$ ，则 $∠ A F B$ 的最大值为 $\frac{2}{3} π$

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