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相关试卷

1、下列是真命题的是（）

A、函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图像恒过定点 $(1, 2)$ B、函数 $f (x) = 2^{\frac{1}{\cos x}}$ 的值域是 $[\frac{1}{2}, 2]$ C、函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ 为奇函数 D、函数 $f (x) = 2^{| 2 x - 1 |} + 1$ 的图像的对称轴是 $x = 1$

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2、已知函数 $f (x) = \tan (2 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的定义域是 ${x | x \neq \frac{π}{3} + k π, k \in Z}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递增

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3、如果 $a > b > 0, c > d > 0$ ，那么下面结论一定成立的是（）

A、 $a + c > b + d$ B、 $a c > b d$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$

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4、已知增函数 $y = f (x)$ 的图象在 $[a, b]$ 上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为 $[a, b]$ ， $[a, \frac{a + b}{2}]$ ， $[a + \frac{1}{3}, \frac{b}{3}]$ ，则 $b - a$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，则 $φ$ 的一个可能值是（）

A、0 B、 $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6、酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定： $100 mL$ 血液中酒精含量达到 $20 mg$ 的驾驶员即为酒后驾车，达到 $80 mg$ 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 $0.8 mg / mL$ ．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 $20 %$ 的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ）（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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7、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x - 1}}{x - 2} + \lg (x - 1)$ 的定义域是（）

A、 $\{x | x \geq \frac{1}{2}\}$ B、 $\{x | x > 1\}$ C、 ${x | x \geq \frac{1}{2}$ 且 $x \neq 2}$ D、 ${x | x > 1$ 且 $x \neq 2}$

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8、命题“ $\forall x \in (0, 1), x + sin x < 2$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in (0, 1), x + sin x \geq 2$ B、 $\exists x \in (0, 1), x + sin x \geq 2$ C、 $\forall x \notin (0, 1), x + sin x < 2$ D、 $\exists x \notin (0, 1), x + sin x < 2$

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9、设集合 $A = {1, 3, a}$ ， $B = {3, 5, 7}$ ，若 $A \cap B = {3, 5}$ ，则 $a$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $5$ D、 $7$

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10、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ，其短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ ， $N$ 在 $C$ 上，记直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试问：是否存在常数 $λ$ ，使得当 $k_{1} k_{2} = λ$ 时， $△ O M N$ 的面积为定值?若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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11、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底平面是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A ⊥ P C$ ， $P B = P D$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $B E D$ ；

(2)、若 $P D ⊥ A B$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $B E D$ 夹角的余弦值．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{1} (a_{n} - 1)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{m}$ 为 $\{a_{n}\}$ 在区间 $(S_{m}, S_{2 m})$ 中的项的个数，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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13、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $x + 4 y - 40 = 0$ 与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点．

(1)、求 $y_{1} y_{2}$ 的值；

(2)、若 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $△ M A B$ 的重心恰为 $F$ ，求 $p$ 的值及点 $M$ 的坐标．

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14、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B_{1} D_{1} E ∥$ 平面 $B D F$ ；

(2)、求 $A_{1}$ 到平面 $B D F$ 的距离．

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15、已知圆 $C$ 经过三点 $O (0, 0)$ ， $A (0, 2)$ ， $B (3, 3)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $A$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于另一点 $P$ ，且 $△ C A P$ 为等腰直角三角形，求 $l$ 的方程．

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16、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $P F$ 与双曲线 $C$ 在第一象限交于点 $P$ ，若 $\frac{\sqrt{7}}{2} | P F | \geq | P A |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围是．

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17、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 和 $△ A B C$ 都是等边三角形， $A B = 2$ ， $P C = 1$ ， $D$ 为棱 $A B$ 上一点，则 $\vec{P D} \cdot \vec{C D}$ 的最小值是．

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18、已知与圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 4$ 都相切的直线有且仅有两条，则实数 $a$ 的取值范围是．

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19、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 9$ ，则 $a_{2} + a_{4} =$ ．

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20、数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线 $C$ ： $x^{n} + y^{n} = 1 (n > 0)$ ，当 $n = 2$ 时，是我们熟知的圆；当 $n = \frac{2}{3}$ 时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线 $C$ 的结论正确的是（）

A、对任意正实数 $n$ ，曲线 $C$ 恒过2个定点 B、存在无数个正实数 $n$ ，曲线 $C$ 至少有4条对称轴 C、星形线围成的封闭图形的面积大于2 D、星形线与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 有四个公共点

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