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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ，则 $x < 0$ 时， $f (x) =$ ．

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2、已知实数 $a$ 、 $b \in R_{+}$ ，且 $2 a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ B、 $4 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{b - 1}{a - 1} \in (0, 2)$

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3、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{matrix}$ ，称为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (\sqrt{2}) = 1$ B、 $f (x)$ 的定义城为 $R$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (f (x)) = 1$ D、 $f (x)$ 为偶函数

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4、下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in N$ ， 2x＋1为奇数 C、所有菱形的四条边都相等 D、 $π$ 是无理数

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5、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足，当 $0 < x \leq 2$ 时， $f (x) < 0$ ，当 $x > 2$ 时， $f (x) > 0$ . 不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} (2 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ x^{2} - a x + 5, x \geq 1 \end{cases}$ 满足对任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ B、 $(\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 2]$

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7、某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、已知 $p : x < - 2$ 或 $x > 0 ， q : x > a$ ，且 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \leq 0$ C、 $a > 0$ D、 $a \geq 0$

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9、已知a，b为非零实数，且 $a > b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $\frac{1}{a b^{2}} > \frac{1}{a^{2} b}$ D、 $\frac{b^{2}}{a} < \frac{a^{2}}{b}$

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10、已知 $f (x + 1) = x^{2} - 2 x + 2$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 6 x + 3$ B、 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ C、 $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ D、 $f (x) = x^{2} - 6 x + 10$

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11、下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = | x |, y = \sqrt{x^{2}}$ B、 $y = x, y = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $y = 1, y = x^{0}$ D、 $y = | x |, y = {(\sqrt{x})}^{2}$

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12、下列各组对象可以构成集合的是（）

A、某中学所有成绩优秀的学生 B、边长为2的正方形 C、比较大的数字 D、著名的数学家

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13、近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份x
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽车购买数量>（万辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80

(1)、计算 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ （保留三位小数）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量．
参考公式 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{1} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数值： $\sqrt{13} \approx 3.6056$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 3.6$ ．

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14、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{3} + a_{4} = 7$ ， $3 a_{2} + a_{5} = 5$ ，则 $\frac{S_{9}}{9} =$ ．

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15、已知圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，直线l： $m x + y - 2 m - 3 = 0$ ．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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16、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P (\frac{2 \sqrt{6}}{3}, 1)$ 在椭圆 $C$ 上，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $A$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点， $S_{△ A D E} = \frac{18 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程．

(3)、若过椭圆上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ，利用上述结论，设 $d$ 是从椭圆中心到椭圆在点 $Q$ 处切线的距离，当 $Q$ 在椭圆上运动时，判断 $d^{2} |Q F_{1}| |Q F_{2}|$ 是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．

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17、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D、E分别是 $A A_{1}$ 、 $B C$ 的中点， $A C = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $∠ B C A = 90 °$ .

(1)、求证： $A E //$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求点E到平面 $C_{1} B D$ 的距离.

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18、已知直线 $l_{1}$ 经过点 $A (2, 3)$ ．

(1)、若 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + 2 y + 4 = 0$ 垂直，求 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若 $l_{1}$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $l_{1}$ 的方程．

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19、已知点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一动点，Q是圆 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，点 $M (6, 4)$ ，则|PQ|－|PM|的最大值为.

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20、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为1，空间中一点 $M$ 满足 $\vec{P M} = x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ .则 $|\vec{P M}|$ 的最小值．

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年份x	2019	2020	2021	2022	2023
新能源汽车购买数量>（万辆）	0.40	0.70	1.10	1.50	1.80