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相关试卷

1、甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏．甲、乙、丙共同写出三个集合A，B，C，然后他们三人各用一句话来正确描述集合中“ $Δ$ ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字．已知集合 $A = {x ∣ 0 < Δ x < 2}$ ， $B = \{x | - 3 \leq x \leq 5\}$ ， $C = \{x | x (3 x - 2) < 0\}$ ．甲、乙、丙三位同学描述如下．甲：此数为小于5的正整数；乙： $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件；丙： $x \in C$ 是 $x \in A$ 的充分不必要条件．则“ $Δ$ ”表示的数字是（）

A、1或2 B、2或3 C、3或4 D、1或3

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2、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C_{1}$ 与 $B D_{1}$ 的交点 $O$ 称为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，若平面 $α$ 经过该正方体的中心 $O$ ，且顶点 $B_{1}$ ， $C$ 到平面 $α$ 的距离相等，则符合条件的平面 $α$ 的个数为（）

A、1个 B、2个 C、12个 D、无数个

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $\frac{a}{c} + \frac{c}{a} = 1 + 2 \cos B, D$ 为边 $A C$ 的中点，且 $B D \sin ∠ A B C = a \sin C$ .

(1)、求证： $B D = b$ ；

(2)、若 $b = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期为 $π$ 的奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 1)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的值域是 $[- 3, 1]$

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5、已知 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + a - 2}{2^{x} + 1} (x \in R)$ 是奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明之；

(3)、解关于t的不等式 $f (t^{2} - 3) + f (2 t) < 0$ ．

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6、某租赁公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日 $1700$ 元．根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出去的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为 $x$ 元（ $60 \leq x \leq 300, x \in N *$ ），用 $y$ (单位：元)表示出租电动汽车的日净收入．(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)
（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；
（2）试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时？才能使日净收入最多，并求出日净收入的最大值．

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7、已知集合 $A = \{x |a - 1 \leq x \leq 2 a + 3\}$ ， $B = \{x |- 2 \leq x \leq 4\}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 成立的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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8、函数 $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + ln (2 - x)$ 的定义域为．

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9、已知不等式 $a x^{2} + b x - 6 < 0$ 的解集为 $\{x |- 3 < x < 2\}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ ； B、 $- 3$ ， 2是方程 $a x^{2} + b x - 6 = 0$ 的两个实数根； C、 $b = - 1$ ； D、不等式 $x^{2} - b x - 2 a \geq 0$ 的解集为 $\{x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 2\}$ ．

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10、已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2, 8)$ ，若 $f (2 a + 3) > f (3)$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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11、设 $m, n \in (0, + \infty)$ ，且 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1$ ，则 $m + 2 n$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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12、函数 $f (x) = e^{x} + x - 2$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 2, - 1)$

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13、命题“ $\forall x \geq 1, x^{2} - 1 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x < 1, x^{2} - 1 > 0$ B、 $\exists x \geq 1, x^{2} - 1 > 0$ C、 $\forall x < 1, x^{2} - 1 \leq 0$ D、 $\forall x < 1, x^{2} - 1 > 0$

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14、设全集是实数集 $R$ ， $M = \{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}$ ， $N = {x ∣ x < 1}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N$ 等于（　　）

A、 ${x ∣ x < - 2}$ B、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 1\}$ C、 ${x ∣ x < 1}$ D、 ${x ∣ - 2 \leq x < 1}$

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15、类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面） $S$ 的方程，若曲面 $S$ 和三元方程 $F (x, y, z) = 0$ 之间满足：①曲面 $S$ 上任意一点的坐标均为三元方程 $F (x, y, z) = 0$ 的解；②以三元方程 $F (x, y, z) = 0$ 的任意解 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 为坐标的点均在曲面 $S$ 上，则称曲面 $S$ 的方程为 $F (x, y, z) = 0$ ，方程 $F (x, y, z) = 0$ 的曲面为 $S$ ．已知曲面 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{1} - \frac{z^{2}}{4} = 1$ ．如图，该曲面 $C$ 可视为平面 $x O z$ 中某一支曲线绕 $z$ 轴旋转一周所得的旋转面．

(1)、请写出 $x O y$ 平面截曲面 $C$ 所得交线是什么曲线；

(2)、已知过曲面 $C$ 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 $C$ 上．若直线 $l$ 过曲面 $C$ 上一点 $Q (1, 1, 2)$ ，以 $\vec{d} = (- 2, 0, - 4)$ 为方向向量．
①求证：直线 $l$ 在曲面 $C$ 上；
②若直线 $l^{'}$ 在曲面 $C$ 上，且过点 $T (\sqrt{2}, 0, 2)$ ，求异面直线 $l$ 与 $l^{'}$ 所成角的余弦值．

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16、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A D E F$ 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子 $M, N$ 分别在正方形对角线 $A E$ 和 $B D$ 上移动，且 $E M$ 和 $D N$ 的长度保持相等，记 $E M = D N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，活动弹子 $Q$ 在 $E F$ 上移动.

(1)、求证：直线 $M N / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、a为何值时， $M N$ 的长最小?

(3)、 $Q$ 为 $E F$ 上的点，求 $E B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值.

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17、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{3} a \sin C = c (\cos A + 1), a = 5 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为R．

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆的面积；

(2)、圆 $M$ 经过 $P (0, 4)$ ，且与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = R^{2}$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称，圆 $M$ 被直线 $P Q$ 截得弦长为8，求直线 $P Q$ 的方程．

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18、设直线l的方程为 $(a + 1) x + y - 5 - 2 a = 0 (a \in R)$

(1)、求证：无论a为何值，直线l必过一定点P；

(2)、若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当 $△ A O B$ 面积最小时，求 $△ A O B$ 的周长；

(3)、当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程.

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19、已知点 $P (- 2, 0, 2), Q (- 1, 1, 2), R (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{P Q}, \vec{b} = \vec{P R}, \vec{c} = \vec{Q R}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量（用坐标表示）；

(2)、求 $cos 〈 \vec{a} + \vec{c}, \vec{c} - 2 \vec{b} 〉$ ．

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20、已知P为 $| x | + | y | = m$ 上的点，过点P作圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点为M、N，若使得 $∠ M P N = 60 °$ 的点P有8个，则m的取值范围是.

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