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相关试卷

1、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 3, m)$ ， $\vec{b} = (0, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (2, 7, n)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则 $m n$ 的最小值为．

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2、已知 $\vec{n} = (- 3, 1, 2)$ 是平面 $α$ 的一个法向量，点 $A (0, - 3, - 1)$ ， $B (k, 2 k, 2)$ 在平面 $α$ 内，则 $k =$ ．

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3、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体．
①直线 $C C_{1}$ 的一个方向向量为 $(0, 0, 1)$ ； ②直线 $B C_{1}$ 的一个方向向量为 $(0, 1, 1)$ ；
③平面 $B_{1} C_{1} C B$ 的一个法向量为 $(- 1, 0, 0)$ ； ④平面 $B_{1} C D$ 的一个法向量为 $(1, 1, 1)$ ．
则上述结论正确的是.（填序号）

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4、如图，已知点 $P$ 在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的对角线 $B D^{'}$ 上， $∠ P D C = 60 °$ $.$ 设 $\vec{D^{'} P} = λ \vec{D^{'} B}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

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5、若直线 $l$ 的方向向量为 $(2, 1, m)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $(1, \frac{1}{2}, 2)$ ，且 $l ∥ α$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $4$ D、 $- 4$

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6、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, y, 2)$ ， $\vec{c} = (3, - 6, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）．

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、5 D、6

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7、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，点M为 $A^{'} C^{'}$ 与 $B^{'} D^{'}$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A^{'} B^{'}} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A^{'} D^{'}} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{A^{'} A} = \overset{⃑}{c}$ ，则下列向量中与 $\overset{⃑}{B M}$ 相等的向量是（）.

A、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}$

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8、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}$ ， $2 \vec{c} - \vec{b}$ ， $\vec{a}$ B、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$

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9、给出下列命题：
①若空间向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；
②在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，必有 $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$ ；
③若空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} = \vec{b}, \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ ．
其中假命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10、下列函数中，在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \tan x$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ D、 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x \leq 1 \\ \ln x, x > 1 \end{array}$

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11、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $M = \{1, 3, 4\}$ ， $N = \{2, 4, 5\}$ ，则 $M \cap (∁_{U} N) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{2, 5\}$

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12、设 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的实部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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13、已知函数 $y = a x^{2} - (a + 2) x + 2$ ， $a \in R$

(1)、 $y < 3 - 2 x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，求不等式 $y \geq 0$ 的解集；

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14、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 5)$ ， $\vec{b} = (1, x, - 1)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、4 B、2 C、3 D、1

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15、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 为.

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16、若两个正实数x，y满足 $4 x + y = x y$ ，且存在这样的x，y使不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} + 3 m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < m < 4$ B、 $- 4 < m < 1$ C、 $m < - 4$ 或 $m > 1$ D、 $m < - 3$ 或 $m > 0$

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17、已知平面直角坐标系中，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 8$ ，点 $P (- 4, 2)$ ，

(1)、若 $A$ 是圆 $O$ 上的动点，线段 $A P$ 的中点为 $M$ ，求 $M$ 的轨迹方程；

(2)、以 $O P$ 为直径的圆交圆 $O$ 于 $C$ ， $D$ 两点，求 $|C D|$ .

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰三角形， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ， $A C = B C = A A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别是棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成的角的正弦值.

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19、在平面直角坐标系中，已知圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 x = 1$ ，直线 $l : 2 x - y - 3 = 0$ ，过 $l$ 上一点 $P$ 作圆 $M$ 的切线，切点为A，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P M}$ 的最小值为.

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20、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知 $A (1, 2, - 1)$ ， $B (0, 1, 1)$ ，下列结论正确的有（）

A、 $| \vec{A B} | = 4$ B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 1$ C、若 $\vec{n} = (4, 2, t)$ ，且 $\vec{n} ⊥ \vec{A B}$ ，则 $t = 3$ D、若 $\vec{m} = (1, 1, k)$ 且 $\vec{m} / / \vec{A B}$ ，则 $k = 2$

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