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相关试卷

1、抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（）

A、事件A、B和C两两互斥 B、 $P (A) + P (B) + P (C) = \frac{7}{8}$ C、事件A与事件 $B \cup C$ 是对立事件 D、事件 $A \cup B$ 与 $B \cup C$ 相互独立

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2、渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间
1965年
1月-4月
1965年
5月-8月
1965年
9月-12月
1966年
1月-4月
……
改革后法定退休年龄
60岁＋1个月
60岁＋2个月
60岁＋3个月
60岁＋4个月
……
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（）

A、62岁3个月 B、62岁4个月 C、62岁5个月 D、63岁

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3、已知 $a > b > 0$ ，以下四个数中最大的是（）

A、b B、 $\sqrt{a b}$ C、 $\frac{a + b}{2}$ D、 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

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4、交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成．黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．根据路况不同，道路的限定速度一般在30千米/小时至70千米/小时之间．由相关数据，驾驶员反应距离 $s_{1}$ （单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为： $s_{1} = 0.7584 v$ ；刹车距离 $s_{2}$ （单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为： $s_{2} = 0.072 v^{2}$ ，反应距离与刹车距离之和称为停车距离．已知某个十字路口宽度为30米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，则该路口黄灯亮的时间最多为秒（结果精确到0.01秒）．

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5、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $3 θ$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{a}$ 和 $\vec{b} - \vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为x，y，则 $x (y + \sin θ)$ 的取值范围是．

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6、已知点P为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上任意一点， $E F$ 为圆 $N : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 的任意一条直径，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的取值范围是．

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7、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x}, x \geq 0 \\ \frac{1}{3^{x}}, x < 0 \end{array}$ ，则满足 $f (m) \geq f (m + 2)$ 的实数m的最大值为．

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， ${log}_{2} a_{1} + {log}_{2} a_{4} = 3, 2^{a_{2}} \cdot 2^{a_{3}} = 64$ ，则 $a_{10} =$ ．

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9、已知 ${(x + 2)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ＝．

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10、已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为 $15 π$ ，则该圆锥的高为．

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11、若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 2 + 3 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ ．

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 4$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $C = \frac{5}{6} π$ ，则 $c =$ .

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13、函数 $y = lg (3 x + 1) + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是．

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14、已知集合 $A = [4, + \infty)$ ， $B = \{2, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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15、甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：
①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若 $a + b > N$ ，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；
②直接结束抽牌，记 $b = 0$ ，换由乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为c，若 $a + b + c \leq N$ ，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．

(1)、若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；

(2)、若甲抽牌2次，求甲赢的概率；

(3)、当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）
参考公式：若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ．

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16、已知复数 $z = 3 - \frac{1}{2 i^{3}}$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} i$

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17、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若直线 $l$ 以 $\vec{u}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线 $l$ 的标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .

(1)、已知直线 $l$ 的标准式方程为 $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- \sqrt{3}} = \frac{z + 1}{1}$ ，平面 $α_{1}$ 的点法式方程可表示为 $\sqrt{3} x + y - z + 5 = 0$ ，求直线 $l$ 与平面 $α_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、已知平面 $α_{2}$ 的点法式方程可表示为 $2 x + 3 y + z - 1 = 0$ ，平面外一点 $P (1, 2, 1)$ ，求点 $P$ 到平面 $α_{2}$ 的距离；

(3)、（i）若集合 $M = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | z | \leq 1}$ ，记集合 $M$ 中所有点构成的几何体为 $S$ ，求几何体 $S$ 的体积：
（ii）若集合 $N = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | y | + | z | \leq 2, | z | + | x | \leq 2}$ .记集合 $N$ 中所有点构成的几何体为 $T$ ，求几何体 $T$ 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小

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18、如图，在圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线段 $P D$ ， $D$ 为垂足，点 $M$ 在 $D P$ 的延长线上，且 $|D M| = 2 |D P|$ ，当点 $P$ 在圆 $O$ 上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ （当点 $P$ 经过圆与 $y$ 轴的交点时，规定点 $M$ 与点 $P$ 重合）.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $T (t, 0)$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点，将 $|A B|$ 表示成 $t$ 的函数，并求 $|A B|$ 的最大值.

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19、已知线段AB的端点B的坐标是 $(6 ， 5)$ ，端点A在圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上运动．

(1)、求线段AB的中点P的轨迹 $C_{2}$ 的方程；

(2)、设圆 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的两交点为M，N，求线段MN的长；

(3)、若点C在曲线 $C_{2}$ 上运动，点Q在x轴上运动，求 $|A Q| + |C Q|$ 的最小值．

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20、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (2, 1)$ ，在AB边上的中线CM所在的直线方程为 $2 x + y - 1 = 0 ， ∠ A B C$ 的角平分线BH所在直线方程为 $x - y = 0$ .

(1)、求经过点 $A (2, 1)$ ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；

(2)、求直线BC的方程；

(3)、在线段AB上是否存在点D，满足 $C D ⊥ A B$ ，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由.

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