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相关试卷

1、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P (- 1, - 3, 3)$ ， $A (1, 0, 1)$ ， $B (0, 1, 1)$ ， $C (- 1, 3, 0)$ ， $D (0, 2, 0)$ ，则下列结论正确的有（）

A、四边形 $A B C D$ 为正方形 B、四边形 $A B C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、 $\vec{P A}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ D、点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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2、已知曲线 $C : x^{2} + m y^{2} = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $0 < m < 1$ ，则C是焦点在 $y$ 轴上的椭圆 B、若 $m = 1$ ，则C是圆 C、若 $m > 1$ ，则C是焦点在 $y$ 轴上的椭圆 D、若 $m = 0$ ，则C是两条平行于y轴的直线

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3、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，定义：经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且法向量为 $\vec{n} = (λ, μ, ω)$ 的平面的方程为 $λ (x - x_{0}) + μ (y - y_{0}) + ω (z - z_{0}) = 0$ .已知在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，经过点 $P (2, 2, 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $2 - x = \frac{y}{2} - 1 = \frac{z}{3}$ ，经过点 $P$ 的平面 $α$ 的方程为 $2 x + y + 2 z - 6 = 0$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

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4、一条光线从点 $P (0, 4)$ 射出，经直线 $x + y - 3 = 0$ 反射后，与圆 $C : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（）

A、4 B、5 C、 $2 \sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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5、已知 $A (\sqrt{3}, - 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (3, 0)$ ， $D (- 1, 2)$ ， $E (1, \sqrt{2})$ ，若从A，B，C，D，E这五个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 外的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $O$ 为坐标原点，直线 $x = \frac{a}{2}$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点.若 $△ O A B$ 为直角三角形，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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7、若圆 $x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 y - 1 = 0$ 的圆心到两坐标轴的距离相等，则 $a =$ （）

A、 $\pm 1$ B、1 C、 $\pm \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, m, n)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m - n =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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9、已知 $A, B, C$ 为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且 $P (A) = 0.1$ ， $P (C) = 0.4$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.06 B、0.5 C、0.6 D、0.7

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10、下列直线中，倾斜角最大的是（）

A、 $3 x - y - 2 = 0$ B、 $x = 2$ C、 $3 x + y + 4 = 0$ D、 $y = 2$

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11、已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(\sqrt{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式.

(2)、设函数 $g (x) = 4 f (x) + \frac{1}{f (x)}$ .
①判断 $g (x)$ 的奇偶性；
②判断 $g (x)$ 在 $(0, 2)$ 上的单调性，并用定义加以证明.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A B ∥ C D, ∠ A D C = 90^{°}$ ，且 $A D = C D = P D = 2 A B = 2$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值；

(3)、在棱 $P B$ 上是否存在点 $G$ （ $G$ 与 $P, B$ 不重合），使得 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ ？若存在，求 $\frac{P G}{P B}$ 的值，若不存在，说明理由.

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13、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求a值和该样本的第75百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ 各一人的概率.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \sin A + c \sin C - b \sin B = a \sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $3 a = 2 b$ .
（i）求 $\cos A$ 的值；
（ii）求 $\sin (2 A + B)$ 的值.

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15、已知空间三点 $A (2, - 5, 1)$ ， $B (2, - 2, 4)$ ， $C (1, - 4, 1)$ ．

(1)、求向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角；

(2)、若 $(\vec{A B} - k \vec{A C}) ⊥ (\vec{A B} + k \vec{A C})$ ，求实数 $k$ 的值．

(3)、求 $△ A B C$ 的面积.

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16、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $A A_{1}$ 的中点，以D为原点， $D A, D C, D D_{1}$ 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 $B_{1}$ 到直线 $C E$ 的距离为；点D到平面 $C D_{1} E$ 的距离为．

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17、与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的焦点，且过点 $(- 3, 2)$ 的椭圆方程为．

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18、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}} + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为.

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19、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、该图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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20、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : m x + y - 3 m - 1 = 0$ .则以下几个结论正确的有（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(3,1)$ B、圆 $C$ 被 $y$ 轴截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ C、点 $C$ 到直线 $l$ 的距离的最大值是 $2 \sqrt{5}$ D、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时，直线 $l$ 的方程为 $2 x - y - 5 = 0$

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