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相关试卷

1、已知直线l： $x = m y + 2 (m \in R)$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，O为坐标原点，则（）

A、若 $p = 4$ ，则 $∠ A O B < \frac{π}{2}$ B、若 $p = 4$ ，则 $|A B| = 8 (1 + m^{2})$ C、若 $p = 1$ ，则 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ D、若 $p = 1$ ，则 $S_{△ A O B} = 2 \sqrt{m^{2} + 4}$

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2、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ，则（）

A、向量 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{B B_{1}}$ ， $\vec{C C_{1}}$ 能构成空间的一个基底 B、 $\vec{A_{1} C_{1}}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{A B}$ C、AC与平面 $A B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、点C到平面 $A B C_{1}$ 的距离是点 $A_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离的2倍

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3、记 $S_{n}$ 为无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $- a_{1} < a_{2} < a_{1}$ ，则（）

A、 $q < 0$ B、 $a_{3} > 0$ C、数列 $\{S_{n}\}$ 为递减数列 D、数列 $\{S_{n}\}$ 有最小项

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4、在空间直角坐标系Oxyz中， $A (1, m, 2)$ ， $B (n, 0, 1)$ ，若直线AB与平面xOy交于点 $P (x, y, 0)$ ，点P的轨迹方程为 $\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，则 $|A B| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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5、在平面直角坐标系xOy中，点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，且直线OA，OB的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，则 $x_{1}^{2} - y_{1}^{2} + x_{2}^{2} - y_{2}^{2} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 10 - 2 n$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等差数列，公差为 $- 2$ B、数列 $\{S_{n} + n^{2}\}$ 为等差数列，公差为8 C、当 $n \geq 5$ 时，数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前n项和为 $S_{n} - 2 S_{5}$ D、当 $n \geq 5$ 时，数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前n项和为 $- S_{n} + 2 S_{5}$

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7、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，则 $q S_{3} =$ （）

A、 $S_{4}$ B、 $S_{4} - S_{1}$ C、 $\frac{S_{4}}{q}$ D、 $\frac{S_{4} - S_{1}}{q}$

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8、若 $\cos^{5} θ - \sin^{5} θ < 3 (\sin^{3} θ - \cos^{3} θ)$ 且 $θ \in [0, 2 π)$ ，则 $θ$ 的取值范围为.

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9、已知正数 $x, y$ 满足 $x + y - x y + 3 = 0$ ，则 $x y$ 的最小值为．

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10、已知 $\sin α = - \frac{3}{5}$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，求 $\cos (\frac{π}{4} - α)$ 的值.

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11、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x| |x - 1| > 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{3\}$ D、 $\emptyset$

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12、如图，在空间几何体 $A B C D E F$ 中，平面 $A B C$ $∥$ 平面 $D E F, B F$ $∥$ $C E, B F ⊥$ 平面 $A B C, B C = E F = 4 \sqrt{2}, C E = 2, ∠ E D F = ∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，则几何体 $A B C D E F$ 的外接球的体积为.

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13、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是抛物线 $y^{2} = 12 x$ 上三个动点，且 $△ A B C$ 的重心为抛物线的焦点 $F$ ，则 $△ A B C$ 的三条中线的长度之和为.

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14、如图所示，已知 $A$ 船在灯塔 $C$ 北偏东 $80 °$ 的方向，且 $A$ ， $C$ 间的距离为2km， $B$ 船在灯塔 $C$ 北偏西 $40 °$ 的方向，且 $A$ ， $B$ 两船间的距离为3km，则 $B$ ， $C$ 间的距离为km.

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15、对于椭圆： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，我们称双曲线： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 为其伴随双曲线.已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < \sqrt{3})$ ，它的离心率是其伴随双曲线 $Γ$ 离心率的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍.

(1)、求椭圆 $C$ 伴随双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、点 $F$ 为 $Γ$ 的上焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 上支交于 $A, B$ 两点，设 $△ A B O$ 的面积为 $S$ ， $∠ A O B = θ$ （其中 $O$ 为坐标原点）.若 $|A B| = 6 \sqrt{3}$ ，求 $\frac{S}{\tan θ}$ .

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16、已知四棱锥 $P - A B C D, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2, P A = A D = 4, E$ 为 $P A$ 的中点， $F$ 为 $C D$ 上一点，若 $P F$ 与平面 $B E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{8}{33}$ ，则 $C F =$ ．

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17、已知 $\vec{a} = (1, 0, - 1), \vec{b} = (2, 1, 1)$ ，则 $3 \vec{a} + \vec{b} =$ .

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{3}, 3 a_{2}, a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + {log}_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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19、侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为1，往里第二个正方形为 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ， …，往里第 $n$ 个正方形为 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．（参考数据： $\lg 2 = 0.301$ ， $\lg 3 = 0.477$ ）．

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20、如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为 $(15 \sqrt{3} - 15)$ 米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为米．

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