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相关试卷

1、直线 $l : y = x$ 与圆 $M : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{14}$

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2、已知 $α$ ， $β$ 是两个互相平行的平面， $l$ ， $m$ ， $n$ 是不重合的三条直线，且 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则（）

A、 $l ⊥ n$ B、 $m ⊥ n$ C、 $l / / n$ D、 $m // n$

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3、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则可以与向量 $\vec{m} = \vec{a} - 2 \vec{c}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + 2 \vec{c}$ 构成空间另一个基底的向量是（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $\vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{c}$

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4、已知直线 $x + y + m - 1 = 0$ 与直线 $3 x + (m + 2) y + 3 = 0$ 平行，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 1$

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5、如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, A D ⊥ A B, A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $E F B$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $D F$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，若存在，求出线段 $B P$ 的长度，若不存在，请说明理由．

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6、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $O P$ 与圆 $O$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 4$ ，则 $|P M| \cdot |P N| =$ .

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7、已知 $1$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $5$ 个数的平均数为 $3$ ，方差为 $2$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $4$ 个数的方差为．

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8、两平行直线 $l_{1} : a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2} : x + (a - 2) y + a = 0$ 的距离为.

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9、如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $∠ B A A_{1} = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点O是 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A A_{1}})$ B、 $|\vec{A O}| = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $A O ⊥ B C$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$

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10、（多选）已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 $4$ ，直线 $l$ 过点 $F$ 且与抛物线交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，若 $M (m, 2)$ 是线段 $A B$ 的中点，则（）

A、 $p = 4$ B、抛物线的方程为 $y^{2} = 16 x$ C、直线 $l$ 的方程为 $y = 2 x - 4$ D、 $|A B| = 10$

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11、一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有 $1 \sim 9$ 这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件 $A$ ， “从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件 $B$ ， “从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件 $C$ ．则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $C$ 是互斥事件 B、事件 $B$ 与事件 $C$ 是对立事件 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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12、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $B$ 是 $C$ 的下顶点，直线 $B F_{2}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $A$ ，且满足 $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{1} B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、已知 $M (- 2, 0)$ ，圆 $C :$ $x^{2} - 4 x + y^{2} = 0$ ，动圆 $P$ 经过 $M$ 点且与圆 $C$ 相切，则动圆圆心 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 1)$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1 (x \geq \sqrt{3})$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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14、安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为 $1, 2, 3$ 的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到 $3$ 号教室的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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15、若直线l过点 $(- 3, - 2)$ ，且与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（）

A、 $2 x + y - 8 = 0$ B、 $2 x + y + 8 = 0$ C、 $2 x - y + 8 = 0$ D、 $2 x - y - 6 = 0$

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16、我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为 $3 : 4 : 3$ ，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）

A、52 B、48 C、36 D、24

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17、已知点 $A (2, 1, - 1)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $B$ ，则 $|\vec{A B}|$ 等于（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、2 D、 $2 \sqrt{5}$

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18、抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, \frac{1}{16})$ D、 $(\frac{1}{16}, 0)$

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19、已知 $A = \{1, 2, 3, \dots, k\} (k \geq 2, k \in N^{*})$ ，设 $y = f (x)$ 是 $A$ 到 $N^{*}$ 的一个函数，对任意的 $x \in A$ ，若 $\frac{f (2)}{f (1)}, \frac{f (3)}{f (2)}, \dots, \frac{f (k)}{f (k - 1)}$ 全不相等，则称 $y = f (x)$ 为 $L -$ 函数．

(1)、试判断 $f (x) = 2^{x} (x \in A)$ 与 $g (x) = x^{2} (x \in A)$ 是否为 $L -$ 函数（不必写出理由）；

(2)、已知 $y = h (x) (x \in A)$ 为 $L -$ 函数，记 $B = \{y |y = h (x), x \in A\}$ 的元素个数为 $card (B)$ ．
（ⅰ）若 $k = 7$ ，求 $card (B)$ 的最小值；
（ⅱ）若 $k = 22, card (B) = 5$ ，求 $h (1) + h (2) + \dots + h (22)$ 的最小值．

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20、已知函数 $f (x) = ln (2 - x) + ln (2 + x)$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2)$ 上的单调性并用定义法证明；

(3)、若 $\forall x \in (- 2, 2)$ 都有 $f (k x - 1) > 0$ 成立，求正实数 $k$ 的取值范围．

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