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相关试卷

1、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A P} = 2 \vec{P B}$ ，则 $\vec{P D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$

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2、已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则复数 $z^{2} - 8 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、设集合 $P = \{x |{log}_{2} x < 2\}$ ， $Q = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，那么 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |0 < x < 3\}$ C、 $\{x |- 3 < x < 1\}$ D、 $\{x |0 < x < 1\}$

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4、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) ，$ 其中 $ω > 0, φ \in (0, \frac{π}{2})$ ．从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：
条件①：函数 $f (x)$ 最小正周期为 $π$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 图像关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称；
条件③：函数 $f (x)$ 图像关于 $x = \frac{π}{12}$ 对称．

(1)、 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最大值和最小值．

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5、某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t( $0 \leq t \leq 24$ ，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.6
1.0

(1)、从 $y = a t + b$ ， $y = A \sin (ω t + φ) + b$ ， $y = \cos (ω t + φ)$ 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

(2)、如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．

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6、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6})$ .
$2 x - \frac{π}{6}$
$0$

$2 π$
$x$

$f (x)$

(1)、请用“五点法”画出函数 $f (x)$ 在一个周期上的图象；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{3}$ ，且 $α \in (- \frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin α$ 的值.

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7、某人在静水中游泳，速度为 $4 \sqrt{3}$ 千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．

(1)、若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？

(2)、他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

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8、已知 $tan α = 2$ .

(1)、求 $tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 sin (π + α) cos (- 2 π - α)}{{sin}^{2} (- α) - {sin}^{2} (\frac{3 π}{2} - α)}$ 的值.

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9、使得 $\tan m ° = \frac{\sin 1 ° + \cos 1 °}{\sin 1 ° - \cos 1 °}$ 成立的最小正数m的值为

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10、在 $△ A B C$ 中，有 $2 \sin (A + B) - 1 = \sqrt{\frac{1 - \cos 2 C}{2}}$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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11、在 $△ A B C$ 中， $|\vec{A B}| = |\vec{B C}| = |\vec{C A}| = 1$ ，则 $|\vec{A B} - \vec{B C}| =$ ．

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12、一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计时，则（）

A、点P第一次到达最高点需要10秒 B、当水轮转动35秒时，点P距离水面2米 C、当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D、点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 $h = 4 \sin (\frac{π}{30} t + \frac{π}{6}) + 2$

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13、（多选）已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 皆为非零向量，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向，且 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 同向 B、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向，且 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 同向 C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 同向 D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 同向

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x < 4, \\ 2 \sin (\frac{π}{3} x - \frac{5 π}{6}), 4 \leq x \leq 10. \end{array}$ 若函数 $y = f (x) - a$ （ $a \in R$ ）恰有 $4$ 个零点，分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是（）

A、 $(15, \frac{81}{4})$ B、 $(16, \frac{81}{4})$ C、 $(15, \frac{73}{4})$ D、 $(16, \frac{73}{4})$

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15、若函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）的图象过点 $(\frac{2 π}{3}, - 3)$ ，相邻两条对称轴间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，则下列四个结论中，正确的结论是（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数 D、 $f (x + \frac{π}{12})$ 为奇函数

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16、一个函数的图象如图所示，则它的表达式可能为（）

A、 $y = x^{2} \sin x$ B、 $y = \frac{\sin x}{x^{2} + 1}$ C、 $y = x^{2} \cos x$ D、 $y = \frac{\cos x}{x^{2} + 1}$

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17、若 $f (x) = \cos (x - \frac{π}{3})$ 在区间 $[- a, a]$ 上单调递增，则实数a的最大值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、π

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18、函数 $y = \cos (2 π x + \frac{π}{6})$ 的最小正周期是（　　）

A、1 B、2 C、 $π$ D、 $2 π$

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19、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $(a + c) \cdot sin (B + C) = (b - c) \cdot (sin B + sin C)$ ， $b = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、如图所示，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，若 $∠ B A C = ∠ D A C = θ$ ，且 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，记 $△ B C D$ 的周长为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的解析式．

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20、平面几何中有如下结论：“三角形 $A B C$ 的角平分线 $A D$ 分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即 $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ ． ”已知 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 1$ ， $A D$ 为角平分线．过点 $D$ 作直线交 $A B, A C$ 的延长线于不同两点 $E, F$ ，且满足 $\vec{A E} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = y \vec{A C}$ ，

(1)、求 $\frac{1}{x} + \frac{3}{y}$ 的值，并说明理由；

(2)、若 $∠ B A C = 120 °$ ，求 $\vec{E F} \cdot \vec{B C}$ 的最小值．

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t/时	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y/米	1.0	1.4	1.0	0.6	1.0	1.4	0.9	0.6	1.0

$2 x - \frac{π}{6}$	$0$	$2 π$
$x$
$f (x)$