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相关试卷

1、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{7} = 18$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 21$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、32 B、64 C、80 D、128

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2、已知向量 $\vec{a} = (\log_{2} 3, \sin \frac{4 π}{3})$ ， $\vec{b} = (\log_{3} 8, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3、已知直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 与平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $α / / β$ ， $l \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $l / / n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $l \subset α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l ⊥ n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $l / / m$ D、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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4、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、方程 $y - 3 = k (x + 2)$ 表示过点 $(- 2, 3)$ 的所有直线 C、当点 $P (3, 2)$ 到直线 $m x - y + 1 - 2 m = 0$ 的距离最大时， $m$ 的值为 $- 1$ D、已知直线 $l$ 过定点 $P (1, 0)$ 且与以 $A (2, - 3)$ 、 $B (- 3, - 2)$ 为端点的线段有交点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 3] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x - 1} + 1, x \leq 2 \\ |{log}_{2} (x - 2)|, x > 2 \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - (a + 8) f (x) - a = 0$ 有 $6$ 个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 4, - \frac{15}{4}]$ B、 $[- \frac{15}{4}, 0)$ C、 $(- 4, 0)$ D、 $(- 4, - \frac{7}{2})$

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6、已知函数 $f (x) = 3 - \frac{a}{2^{x} + 1}$ 是定义域在R上的奇函数．

(1)、求实数a的值：

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、若对任意的 $t \in [0, + \infty),$ 不等式 $f (2^{t} - k \cdot 4^{t}) + f (4^{t} - 9 k + 13) \leq 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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7、函数 $f (x) = lg (4 x - x^{2})$ 的单调递减区间是．

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8、已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{π}{2}$ 且弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3} π$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{3} π$

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9、某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 3), 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{50 x}{1 + x}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 $f (x)$ （单位：元）

(1)、写单株利润 $f (x)$ （元）关于施用肥料x（千克）的关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?

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10、已知幂函数 $f (x) = x^{m^{2} + 2 m - 3} (m \in Z)$ 是偶函数，且 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上是增函数，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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11、已知有限集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (n \geq 2, n \in N)$ ，如果 $A$ 中的元素 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n}$ ，就称 $A$ 为“完美集”.

(1)、判断：集合 $\{- 1 - \sqrt{3}, - 1 + \sqrt{3}\}$ 是否是“完美集”并说明理由；

(2)、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 是两个不同的正数，且 $\{a_{1}, a_{2}\}$ 是“完美集”，求证： $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 至少有一个大于 $2$ ；

(3)、若 $a_{i}$ 为正整数，求：“完美集” $A$

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12、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R)$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[0, \frac{1}{2}]$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对于实数 $a \in [- 1, 1]$ 时恒成立，求 $x$ 的取值范围；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) < a - 1$ .

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13、设 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 是两个等差数列，记 $c_{n} = \max {b_{1} - a_{1} n, b_{2} - a_{2} n, \cdot \cdot \cdot, b_{n} - a_{n} n}$ $(n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot)$ ，
其中 $\max {x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{s}}$ 表示 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{s}$ 这 $s$ 个数中最大的数．
（Ⅰ）若 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2 n - 1$ ，求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 的值，并证明 ${c_{n}}$ 是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geq m$ 时， $\frac{c_{n}}{n} > M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}, c_{m + 1}, c_{m + 2}, \cdot \cdot \cdot$ 是等差数列．

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14、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ D E F$ 位置.

(1)、证明： $平面 B C D ⊥ 平面 B D E$ ；

(2)、若 $D B = E B$ ，求平面DEF与平面DEC夹角的余弦值.

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，且经过点 $(1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ （不与 $x$ 轴重合）与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与直线 $x = 4$ 的交点分别为 $M, N$ ，记直线 $M F, N F$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 6$ ，且 $a_{n} = a_{n - 1} + λ n (n \geq 2)$ ．则数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前n项_和为

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17、在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．

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18、已知方程 $\sqrt{1 + \cos x} + \sqrt{1 - \cos x} = \sqrt{k}$ 的正根构成等差数列，则 $k =$ （）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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19、若表示集合 $M$ 和 $N$ 关系的 $Venn$ 图如图所示，则 $M, N$ 可能是（）

A、 $M = {0, 2, 4, 6}, N = \{4\}$ B、 $M = {x | x^{2} < 1}, N = {x | x > 1}$ C、 $M = {x | y = lg (x - 2)}$ ， $N = \{y |y = e^{x} + \frac{1}{e^{x}}\}$ D、 $M = {(x, y) | x^{2} = y^{2}}, N ＝ {(x, y) | y = x}$

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20、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = 2, \frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan B} + \frac{1}{tan A tan B} = 1$ ．则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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