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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的渐近线相同，且经过点 $(2, 3)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若斜率为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ 的直线 $l$ 过双曲线的左焦点，分别交双曲线于 $P$ 、 $Q$ 两点，求证： $O P ⊥ O Q$ .

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2、已知点 $P (1, 3)$ ，点 $N (- 3, - 1)$ ，直线 $l_{1}$ 过点 $(- 2, 4)$ 且与直线 $P N$ 垂直.

(1)、求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、求直线 $l_{2} : 2 x + y - 5 = 0$ 关于直线 $l_{1}$ 的对称直线的方程.

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3、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 4$ 或 $x \geq 3}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a + b + c > 0$ C、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |x < 12\}$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{3} < x < \frac{1}{4}\}$

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4、已知函数 $f (x) = \ln e^{2 x} - \ln x + a x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若方程 $e^{x - 1} + \frac{a f (x)}{x} = {(a + 1)}^{2}$ 有两个不同的实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，椭圆上动点 $Q$ 到右焦点 $F$ 的距离最大值等于3．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ 是坐标平面上的动点，且线段 $F M$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点
①求动点 $M$ 的轨迹方程；
②求线段 $|M Q|$ 的长度的取值范围．

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B C$ 的中点，侧棱 $A A_{1}$ 上点 $E, F$ 满足 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ ．

(1)、证明： $P E / /$ 平面 $B_{1} C F$ ；

(2)、若 $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， $A F = \frac{2}{3}$ ，求直线 $B C$ 与平面 $B_{1} C F$ 所成角的正弦值．

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7、已知数列{a_n}，其前n项和记为S_n ，满足 $a_{2} + a_{4} = 10$ ， $a_{n} + 2 = S_{n + 1} - S_{n}$ .

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

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8、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ， $A D = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A D = 150 °$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，过点A的平面 $α$ 与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形 $A E F G$ 为菱形，则 $P A =$ ．

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9、已知数列 $\{a_{n}\} ，$ 满足 $a_{n} = \frac{1 + a_{n - 1}}{1 - a_{n - 1}} ，$ 若 $a_{1} = 2$ ， $S_{n}$ 表示 $a_{n}$ 的前n项和，则 $S_{2025} =$ .

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10、在 ${(1 + 2 x)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数为．

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11、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\frac{1 + sin A}{cos A} = \frac{1 + sin B}{cos B}$ ， D为边BC的中点，则（）

A、 $C \in (0, \frac{π}{2})$ B、 $C A = C B$ C、 $A D > \frac{3}{2}$ D、 $∠ C A D$ 最大时， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ B、若 $t$ 的值为3，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = 5$ C、若 $0 < t < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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13、设椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆E上点P满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，直线 $P F_{1}$ 和直线 $P F_{2}$ 分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若 $\frac{|F_{1} A|}{|F_{2} B|} = \frac{2}{3}$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$

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14、正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 作第二个正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，然后再取正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各边中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（）

A、 $2 - \frac{1}{2^{12}}$ B、 $2 (1 - \frac{1}{2^{10}})$ C、 $2 - \frac{1}{2^{11}}$ D、 $2 (1 - \frac{1}{2^{11}})$

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15、双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程为 $y = m x$ ，则 $| m | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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16、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq \log_{2} (2 x - 4) \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 4, 5, 6\}$ B、 $\{x |3 \leq x \leq 5\}$ C、 $\{x |\frac{9}{4} \leq x \leq 5\}$ D、 $\{2, 3, 4, 5, 6\}$

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17、如图，用4种不同的颜色给矩形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）

A、12种 B、24种 C、48种 D、72种

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18、已知直线 $l_{1} : x - 2 y + 3 = 0, l_{2} : 2 x + 3 y - 8 = 0$ .

(1)、求经过点 $A (1, 4)$ 且与直线 $l_{2}$ 垂直的直线方程；

(2)、求经过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.

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19、下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = |\sin x| + \frac{4}{|\sin x|}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$

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20、柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数 $a, b, c, d$ ，有 $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq {(a c + b d)}^{2}$ 当 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ 时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数 $a, b, c, d, e, f$ ，有 $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (d^{2} + e^{2} + f^{2}) \geq {(a d + b e + c f)}^{2}$ 当 $\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}$ 时，等号成立.

(1)、证明二阶柯西不等式： $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq {(a c + b d)}^{2}$

(2)、若 $a + 2 b + 2 c = 3 \sqrt{3}$ 求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值；

(3)、若 $a + b + c = 1$ ， $- \frac{1}{3} \leq a, b, c \leq \frac{5}{3}$ 求 $f = \sqrt{3 a + 1} + \sqrt{3 b + 1} + \sqrt{3 c + 1}$ 的取值范围．

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