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相关试卷

1、当 $m$ 为何值时，方程 $\frac{x^{2}}{11 - m} + \frac{y^{2}}{2 m - 1} = 1$ 表示下列曲线：

(1)、圆；

(2)、椭圆；

(3)、双曲线．

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2、如图，正八面体 $A B C D E F$ 的每条棱长均为 $10 \sqrt{2}, A F$ 与 $B D$ 交于点 $O, \vec{O A} = 5 \vec{O H}, M$ 为正八面体 $A B C D E F$ 内部或表面上的动点.若 $\vec{D F} \cdot \vec{M H} = 0$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为.

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3、随机敲击电脑键盘上的1，2，3这三个数字键两次（每次只敲击其中一个数字键），得到的两个数字恰好都是奇数的概率为．

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4、若直线 $l_{1} : a x + y = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (2 - a) y + 6 = 0$ 平行，则 $a =$ ．

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5、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 不是奇函数，且 $\exists x \in R, f (- x) = - f (x)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $\exists x \in R, f (- x) \neq - f (x)$ C、 $f (x)$ 的解析式可以是 $f (x) = - |x| + 1$ D、 $f (x)$ 的解析式可以是 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2, x \geq 0 \\ x, x < 0 \end{array}$

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6、如图，在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，正方体 $O B C D - O_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，且 $\vec{O E} = \frac{1}{3} \vec{O C_{1}}$ ，则（）

A、 $\vec{D E} = (1, - 2, 1)$ B、 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{O B} - \frac{1}{3} \vec{O D} + \frac{2}{3} \vec{O O_{1}}$ C、异面直线 $D E$ 与 $O B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $B$ 到直线 $D E$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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7、已知点 $(m, 3)$ 在圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 6 = 0$ 的外部，则 $m$ 的值可能为（）

A、0 B、4 C、2 D、 $- 1$

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，位于第一象限的 $P$ 为该双曲线的一条渐近线 $l$ 上一点，直线 $P F_{2} ⊥ l, Q$ 为该双曲线的左支上一点，若 $△ P Q F_{2}$ 的周长的最小值为 $|P F_{1}| + 3 a$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9、已知向量 $\vec{O M} = (2, 1, 2), \vec{O N} = (- 2, 1, 1), \vec{O P} = (8, 6, λ)$ ，若 $O, M, N, P$ 四点共面，则向量 $\vec{O P}$ 在 $\vec{O M}$ 上的投影向量的模为（）

A、12 B、 $\frac{22}{3}$ C、 $\frac{44}{9}$ D、 $\frac{44}{3}$

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10、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过原点且斜率不为0的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则四边形 $F_{1} A F_{2} B$ 的面积的最大值为（）

A、20 B、24 C、18 D、28

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11、青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为 $\frac{1}{4}$ 米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（）

A、 $\frac{5 π}{96}$ 立方米 B、 $\frac{5 π}{192}$ 立方米 C、 $\frac{π}{64}$ 立方米 D、 $\frac{7 π}{192}$ 立方米

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12、将函数 $f (x) = 10 sin 4 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{16}$ 个单位后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $10 sin (4 x - \frac{π}{4})$ B、 $10 sin (4 x + \frac{π}{4})$ C、 $10 sin (4 x - \frac{π}{16})$ D、 $10 sin (4 x + \frac{π}{16})$

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13、复数 $\frac{i}{2 - i} + \frac{1}{5}$ 的模为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、1 D、 $\frac{2}{5}$

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14、英文单词mango所有字母组成的集合记为 $A$ ，英文单词banana所有字母组成的集合记为 $B$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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15、过点 $A (3, - 2)$ 和点 $B (2, 5)$ 的直线的斜率为（）

A、7 B、 $- 7$ C、 $- 3$ D、3

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16、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C = C D = 1$ ， $∠ A D C = 30 °, ∠ D A B = 120 °$ ，将 $△ A C D$ 沿AC翻折至 $△ A C P$ ，其中P为动点.

(1)、设 $P C ⊥ A B$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（ii）求球O的半径

(2)、求二面角 $A - C P - B$ 的余弦值的最小值.

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17、已知椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1,0)$ ， $F_{2} (1,0)$

(1)、求C的方程；

(2)、已知点 $M_{0} (1, 4)$ ，证明：线段 $F_{1} M_{0}$ 的垂直平分线与C恰有一个公共点；

(3)、设M是坐标平面上的动点，且线段 $F_{1} M$ 的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．

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18、已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{b}{x} - x$ .

(1)、设 $a = 1, b = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为2的切线方程；

(2)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求b的取值范围.

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19、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3, a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{a_{n} + 2}$

(1)、证明：数列 ${1 - \frac{1}{a_{n}}}$ 为等比数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、令 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，证明： $b_{n} < b_{n + 1} < 1$ ．

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20、为考察某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
s
服用
150
70
220
合计
250
t
400
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

(1)、求s，t；

(2)、记未服用药物 $A$ 的动物患疾病 $B$ 的概率为 $P$ ，给出 $P$ 的估计值；

(3)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效?

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药物	疾病		合计
药物	未患病	患病	合计
未服用	100	80	s
服用	150	70	220
合计	250	t	400

$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828