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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = n^{2} + 1$ ，则 $a_{n} = 2 n - 1$ B、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，满足 $a_{1} = 20, S_{10} = S_{16}$ ，则其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 中 $S_{13}$ 最大 C、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，满足 $a_{5} = 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前9项和为定值 D、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} > 0, S_{4} = S_{12}$ ，则使 $S_{n} > 0$ 的最大的 $n$ 为15

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2、已知△ABC是边长为1的正三角形， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}, P$ 是BN上一点且 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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3、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{6}}{3}, A B = 2, A_{1} B_{1} = 1$ ，则 $A A_{1}$ 与底面ABCD所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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4、函数 $f (x) = 2 - e^{|x|}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5、 $A, B$ 是圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 4$ 上两点， $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，若在圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ 上存在点 $P$ 恰为线段 $A B$ 的中点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 5, - 3]\cup[1, 3]$ B、 $[- 4, - 2]\cup[2, 4]$ C、 $[1, 3]$ D、 $[- 5, 3]$

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6、已知函数 $f (x) = \log_{3} (x^{2} - 2 x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[1, + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 的值域是 $R$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 D、不等式 $f (x) < 1$ 的解集是 $(- 1, 3)$

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7、函数 $f (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1} - 1$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8、直线 $l$ 经过两直线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 2 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + y + 2 = 0$ 的交点．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 垂直，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ 相切，求直线 $l$ 的方程．

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9、已知两个数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的项数均为 $p$ ，且对于数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, p$ ，若存在 $b_{k}$ 满足：① $\forall i \in \{1, 2, \dots, k\}$ ，都有 $a_{i} \leq b_{k}$ ；② $\exists i \in \{1, 2, \dots, k\}$ ，使得 $a_{i} = b_{k}$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的单极数列.

(1)、已知 $a_{n} \in N^{*}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 的单极数列为 $1, 2, 2, 3, 3, 3$ ，求满足条件的 $\{a_{n}\}$ 的个数.

(2)、已知 $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的单极数列.
（i）若 $a_{k + 1} + 2 b_{p - k} = k$ ，求 $a_{k} - b_{k}$ .
（ii）若 $a_{n} = \{\begin{matrix} λ n^{2} - {(- 1)}^{\frac{n + 1}{2}} \cdot n, n 为奇数 \\ λ n^{2} - {(- 1)}^{\frac{n}{2}} \cdot n, n 为偶数 \end{matrix}$ ，当 $\frac{1}{2} < λ < 1$ 时，证明： $0 < \sum_{i = 1}^{100} (b_{i} - a_{i}) < 1263$ .

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ， $F_{1}, F_{2}$ 上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点 $N (4, 4)$ ，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）

A、存在4个点M，使得 $∠ F_{1} M F_{2} = 90 °$ B、直线 $M A$ 与直线 $M B$ 斜率乘积为定值 $- \frac{25}{9}$ C、 $\frac{1}{|M F_{1}|} + \frac{1}{|M F_{2}|}$ 有最小值 $\frac{18}{5}$ D、 $| M N | + |M F_{1}|$ 的取值范围为 $[4 \sqrt{5}, 14]$

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11、若圆 $A : {(x - m)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 与圆 $B : {(x - 2 m)}^{2} + y^{2} = 8$ 有且仅有一条公切线，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\pm 1$ D、0

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12、函数 $f (x) = \log_{a} (4 x - 3) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象定点 $A (m, n)$ ，若对任意正数 $x, y$ ，都有 $m x + n y = 3$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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13、已知集合 $M = \{x| y = ln (1 - 2 x)\}, N = \{y| y = e^{x}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $\emptyset$

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14、著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 $S = a b π$ （a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且右顶点A与上顶点B的距离 $|A B| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆C的面积；

(2)、若直线l交椭圆C于P，Q两点，
（ⅰ）求 $△ O P Q$ 的面积的最大值（O为坐标原点）；
（ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A， $A D ⊥ P Q$ ， D为垂足．是否存在定点T，使得 $|D T|$ 为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由．

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15、已知 $a = π^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{π}$ ， $c = \log_{π} 0.2$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c < b < a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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16、若方向向量为 $(1, - 2)$ 的直线 $l$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$ 相切，则直线 $l$ 的方程可以是（）

A、 $x + 2 y + 7 = 0$ B、 $2 x + y + 3 = 0$ C、 $x + 2 y - 6 = 0$ D、 $2 x + y - 6 = 0$

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17、已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ ，双曲线的方程为 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ ，则（）

A、双曲线的一条渐近线方程为 $y = - x$ B、椭圆和双曲线共焦点 C、椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$ D、椭圆和双曲线的图象有4个公共点

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18、已知函数 $f (x) = k x + ln x - \frac{5}{4} k (k \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - k x + \frac{1}{x}$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + \ln x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线斜率为1，求该切线的方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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20、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a \cos C - \frac{1}{2} c = b$ ．

(1)、求A；

(2)、点D在线段BC上， $A D ⊥ A C$ ， $\frac{B D}{C D} = \frac{1}{4}$ ，求 $\tan ∠ A C B$ 的值．

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