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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) + \sin (x - \frac{π}{6}) + \cos x + a$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时的最大值为1.

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合.

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2、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\tan (α + β) = - 2$ ．
（1）求 $\tan β$ 的值；
（2）求 $\cos (α - β)$ 的值．

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3、已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x (ω > 0), f (\frac{π}{6}) + f (\frac{π}{2}) = 0, f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω =$ .

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4、计算 $\frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} - \frac{1}{\sin 10 °} =$ .

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5、函数 $y = 2 sin (\frac{π}{6} - 2 x)$ 的单调递增区间是．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有解，则 $m \in [- 1, \frac{3}{2}]$ D、若 $A$ 为锐角 $△ A B C$ 的一个内角，且 $f (\frac{A}{2}) = \frac{5}{6}$ ，则 $sin A = \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{6}$

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7、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、 $x = - \frac{11π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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8、已知 $a \in (0, π)$ ，且 $\sin α + \cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos 2 a$ 的值为

A、 $\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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9、函数 $f (x) = |\frac{2}{1 + e^{x}} - 1| \cos x$ 在y轴两边的局部图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10、为了得到函数 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图像，只需把余弦函数上所有点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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11、若 $a = {log}_{π} \frac{1}{3}$ ， $b = 3^{\frac{1}{π}}$ ， $c = sin 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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12、简谐运动 $y = 4 \sin (5 x - \frac{π}{3})$ 的相位与初相是（）

A、 $5 x - \frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{3}$ B、 $5 x - \frac{π}{3}$ ， 4 C、 $5 x - \frac{π}{3}$ ，－ $\frac{π}{3}$ D、 $4$ ， $\frac{π}{3}$

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13、若 $tan θ = - 2$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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14、如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q} = |\vec{P Q}|$ ；

(1)、求∠PAQ的大小；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的最小值；

(3)、某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“ $△ A P Q$ 中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．

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15、已知 $A (1, 1)$ ， $B (m, 2)$ ， $C (- 2, 3)$ ， $D (- 1, n)$ 是复平面上的四个点，其中 $m$ ， $n \in R$ ，且向量 $\overset{⃑}{B C}$ ， $\overset{⃑}{A D}$ 对应的复数分别为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ．
（1）若 $z_{1} - z_{2} = 1 - i$ ，求 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ；
（2）若 $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{2} |z_{1}| = 2$ ， $z_{2}$ 对应的点在复平面内的第二象限，求 $\frac{z_{2} - \sqrt{3} i}{z_{1} - 1}$ ．

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16、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} b$ ．

(1)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 的值：

(2)、若 $a^{2} = b c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

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17、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 4$ ，向量 $\overset{⃑}{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ．

(1)、若向量 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$ ，求向量 $\overset{⃑}{a}$ 的坐标；

(2)、若向量 $\overset{⃑}{a}$ 与向量 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为120°，求 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ．

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18、“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为 $O T$ ，测量小组选取与塔底 $O$ 在同一水平面内的两个测量点 $A$ 和 $B$ ，现测得 $∠ O B A = 105 °, ∠ O A B = 45 °, A B = 45$ m，在点 $B$ 处测得塔顶 $T$ 的仰角为 $30 °$ ，则塔高 $O T$ 为m．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = \frac{3}{11} \vec{A B} + m \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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20、复数 $z = i^{2025} (1 + i) - a$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为．

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