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相关试卷

1、如图， $M N ⊥ M A$ ， $M N ⊥ N B$ ，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，异面直线 $M A$ ， $N B$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ， $|M N| = 2$ ，点 $P$ ，点 $Q$ 分别是直线 $M A$ ， $N B$ 上的动点，且 $|P Q| = 4$ ，设线段 $P Q$ 的中点为 $R$ .

(1)、求异面直线 $M N$ 与 $P Q$ 所成的角；

(2)、求 $|M R|$ 的取值范围；

(3)、求四面体 $M N P Q$ 的体积的最大值.

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2、已知圆 $A$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 64$ ，点 $B (2, 0)$ ，点 $P$ 是圆A上任意一点.线段 $B P$ 的垂直平分线 $l$ 和半径 $A P$ 相交于点 $Q$ ，与圆A交于 $M$ ， $N$ 两点，则当点 $P$ 在圆A上运动时，

(1)、求点 $Q$ 的轨迹方程；

(2)、证明：直线 $M N$ 是点 $Q$ 轨迹的切线；

(3)、求 $△ P M N$ 面积的最大值.

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = P C = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = C D = 3$ ， $A B = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $A B ⊥ A D$ .

(1)、证明： $A D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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4、已知点 $M$ 与点 $N$ 关于直线 $l$ ： $y = 2 x + \frac{3}{2}$ 对称，圆 $M$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2}$ （ $0 < r < 6$ ），圆 $N$ 的半径为 $6 - r$ ，且圆 $M$ 与圆 $N$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求 $r$ 的取值范围；

(2)、当 $r = 3$ 时，求 $△ M N A$ 的面积.

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\cos C = \sqrt{2} \sin B$ ， $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{3} a c .$

(1)、求 $A$ ；

(2)、过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ .若 $A D = 2$ ，求 $A E$ 的长度.

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6、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B C$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则四面体 $A B_{1} E F$ 的外接球的表面积为.

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7、已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 32$ ，直线 $l : y = x$ ，若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则 $b =$ .

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8、已知椭圆 $C$ ： $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ ，直线 $l$ ： $3 x - 2 y + m = 0$ ，（）

A、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有公共点，则 $- 6 \sqrt{2} \leq m \leq 6 \sqrt{2}$ B、若 $m = 10 \sqrt{2}$ ，则椭圆 $C$ 上的点 $P$ 到直线 $l$ 的最小距离为 $\frac{4 \sqrt{26}}{13}$ C、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度可能为6 D、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的中点在直线 $3 x + 2 y = 0$ 上

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9、下列从总体中抽得的样本是简单随机抽样的是（）

A、总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数 $r$ .若 $r = 0$ 或 $r > 75$ ，则舍弃，重新抽取 B、总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数 $r$ ， $r$ 除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽中75 C、总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数 $r$ ，把 $r + 6000$ 作为抽中的编号 D、总体编号为1～712，用 $R$ 软件的命令“sample（1：712，50，replace＝F”）得到抽中的编号

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10、若直线 $l_{1}$ ： $(a + 1) x + (a - 1) y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $6 x + a y + 3 = 0$ 平行，则实数 $a$ 可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sin π x, - 1 \leq x < 1 \\ - \frac{3}{2} f (x - 2), x \geq 1 \end{array}$ ， $g (x) = e^{x} - 1$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 的实根个数是（）

A、2 B、.3 C、4 D、5

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12、设空间两个单位向量 $\vec{O A} = (m, n, 0)$ ， $\vec{O B} = (0, n, p)$ 与向量 $\vec{O C} = (1, 1, 1)$ 的夹角都等于 $\frac{π}{4}$ ，则 $\cos ∠ A O B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{7 \pm 4 \sqrt{3}}{16}$ D、 $\frac{4 \pm \sqrt{6}}{16}$

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13、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，过点 $P (1, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.若点 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $x - 3 y + 2 = 0$ B、 $3 x - y - 2 = 0$ C、 $2 x - y - 1 = 0$ D、 $x - 2 y + 1 = 0$

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14、已知函数 $g (x) = \frac{f (x) + f (- x)}{2}$ ， $h (x) = \frac{f (x) - f (- x)}{2}$ ，且 ${[g (x)]}^{2} - {[h (x)]}^{2} = 1$ ，则函数 $f (x)$ 可能是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = \log_{2} x$

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15、从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, - 2, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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17、若 $\frac{z}{z + 1} = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $\forall a, b \in [0, + \infty)$ ，且 $a \neq b$ ，都有 $\frac{a f (a) - b f (b)}{a - b} < 0$ 成立，则不等式 $t f (t^{2}) - (\frac{2}{t} + 1) f (t + 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$

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19、已知曲线 $E$ 上任意一点到点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离与到直线 $x = 2 \sqrt{3}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、若点 $P$ 在圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 上， $P M$ ， $P N$ 为 $E$ 的两条切线， $M$ ， $N$ 是切点.
（i）求点 $P$ 的纵坐标的取值范围；
（ii）求 $△ P M N$ 的面积S的最大值.
附：若曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 的两条切线相交于点 $(x_{0}, y_{0})$ ，则两侧切点所在直线的方程为 $\frac{x_{0} x}{m} + \frac{y_{0} y}{n} = 1$ .

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20、已知直椭圆柱体是指底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图所示，直椭圆柱体的上下底面椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ ，高为椭圆短轴长度的 $\frac{1}{2}$ ，下底面长轴记为 $A B$ ，上底面长轴记为 $A_{1} B_{1}$ ．点 $E$ 为 $A B$ 上一点，过点 $E$ 在下底面内作 $A B$ 的垂线分别交下底面椭圆于点 $C$ ， $D$ ．记 $m = \frac{|A E|}{|B E|}$ ．

(1)、若平面 $A_{1} A D ⊥$ 平面 $A_{1} A C$ ，求 $m$ 及二面角 $C - A_{1} B - D$ 的余弦值；

(2)、若 $m$ 随变量 $t$ 的变化而变化，且 $t \geq 1$ ， $m = 1 - \frac{1}{2 t}$ ．记二面角 $C - A_{1} B - D$ 的大小为 $θ$ ，证明： $\frac{π}{2} < θ < \frac{5π}{6}$ ．

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