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1、下列命题中正确的是（）

A、设m为直线， $α$ ， $β$ 为平面，且 $m ⊥ α$ ，则“ $m ∥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的充要条件 B、设随机变量 $ξ ～ N (0, 1)$ ，若 $P (ξ \geq 3) = p$ ，则 $P (- 3 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ C、若不等式 $x + \frac{9}{x} \geq 2 m + 2 (x > 0)$ 恒成立，则m的取值范围是 $(- \infty, 2)$ D、已知直线 $a x + b y = 2$ 经过点 $(1, 3)$ ，则 $2^{a} + 8^{b}$ 的取值范围是 $[4, + \infty)$

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2、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ， $x \in (a, a + 4)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $[- 3, 1)$ D、 $(- 3, 1)$

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4、若 $a, b \in \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + b$ 有零点的概率为

A、 $\frac{13}{16}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{8}$

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5、函数 $y = \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{4} - 1}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6、下列关系中，表述正确的是（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $\emptyset$ A C、 $π \in Q$ D、 $\{\sqrt{3}\} \subseteq R$

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7、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的有（）

A、 $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ B、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ C、 $f (x) = 2 |x| + 1$ D、 $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} - 1, x \leq 0 \\ - x (x - 2), x > 0 \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有3个实数解 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} < 0$ B、 $1 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < 2$ C、 $- 1 < x_{1} x_{2} x_{3} < - \frac{1}{2}$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = f (m)$ 恰有3个实数解

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9、已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ $(a > 0, 且 a \neq 1)$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 4]$ 上的最大值与最小值之和为 $2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 解析式，并求出关于 $x$ 的不等式 $f (\frac{x - 1}{x + 1}) < 1$ 的解集；

(2)、求函数 $g (x) = f (\frac{x}{4}) \cdot f (2 x)$ ， $x \in [1, 4]$ 的值域，并求出取得最值时对应的 $x$ 的值.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $P A ⊥ P B$ ， $P A = P B$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A B = A D = 2$ ， $C D = 1$ ，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一点，且二面角 $E - P A - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $\frac{C E}{C B}$ 的值．

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11、函数 $f (x) = x + \frac{|x|}{x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12、如图，在八面体 $P A B C D Q$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，平面 $P A D //$ 平面 $Q B C$ ，二面角 $P - A B - C$ 与二面角 $Q - C D - A$ 的大小都是 $30 °$ ， $A P = C Q = \sqrt{3}$ ， $P D ⊥ A B$ ．

(1)、证明：平面 $P C D //$ 平面 $Q A B$ ；

(2)、设 $G$ 为 $△ Q B C$ 的重心，是否在棱 $P A$ 上存在点 $S$ ，使得 $S G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{20}$ ，若存在，求 $S$ 到平面 $A B C D$ 的距离，若不存在，说明理由．

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13、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = \frac{1}{3} f (x + 3) + n$ ，且 $f (1) = 2$ ，当 $x \in [3, 6]$ 时， $f (x) = 3 x^{2} - 15 x + 30$ ．函数 $g (x) = {log}_{2} (2 + \frac{7}{4^{x} - 1})$ ．

(1)、求实数 $n$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, 3)$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、设 $h (x) = 2 \sin x + λ \cos 2 x$ ，是否存在实数 $λ$ ，使不等式 $f [h (x)] > g [h (x)]$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时恒成立？若存在，求实数 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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14、某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数 $f (x)$ 与时刻 $x$ （时）的关系为 $f (x) = |\frac{- a x^{2} + x - a}{x^{2} + 1}| + 2 a + \frac{4}{5}$ ， $x \in [0, 24)$ ，其中 $a$ 是与气象有关的参数，且 $a \in [0, \frac{1}{2}]$ ，若用每天的环境综合污染指数 $f (x)$ 的最大值作为当天的综合污染指数，并记作 $G (a)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求环境综合污染指数 $f (x)$ 的值域；

(2)、求 $G (a)$ 的解析式；

(3)、规定当 $G (a) > 2$ 时为综合污染指数超标，求当 $a$ 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数超标．

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15、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $c \cos B + \sqrt{3} c \sin B = a + b$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a + b = 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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16、人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ ，则其曼哈顿距离为 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，余弦相似度为 $\cos (A, B) = \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} + \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{y_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，余弦距离为 $1 - \cos (A, B)$ ．已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ， $M (13 \cos α, 13 \sin α)$ 、 $N (8 \cos β, 8 \sin β)$ 、 $P (13 \cos (α + β), 13 \sin (α + β))$ 、 $Q (5 \cos 2 β, 5 \sin 2 β)$ ，若 $\cos (M, P) = \frac{3}{5}$ ， $\cos (M, N) = \frac{12}{13}$ ，则 $d (M, Q) =$ ．

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17、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $\cos ∠ A C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $∠ A D C =45 °$ ，则 $A B =$ ．

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18、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (4, 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为．

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2) + f (x) = f (2024)$ ， $f (\frac{1}{2} x + 1)$ 为奇函数，且 $f (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (x + 4) = f (x)$ B、 $f (2024) = 1$ C、函数 $f (x)$ 是偶函数 D、 $\sum_{n = 1}^{2026} n f (n - \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ （参考公式： $\sum_{i = 1}^{n} g (i) = g (1) + g (2) + g (3) + \dots + g (n)$ ）

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20、已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，则（）

A、圆台的母线与底面所成的角为 $45 °$ B、圆台的侧面积为 $8 \sqrt{2} π$ C、圆台的体积为 $\frac{14}{3} π$ D、若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 $40 π$

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