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相关试卷

1、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ， $M, N$ 分别为双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的左，右顶点， $e_{1}, e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的离心率．

(1)、若 $e_{1} e_{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ．
（ⅰ）求 $C_{2}$ 的渐近线方程；
（ⅱ）过点 $G (4, 0)$ 的直线l交 $C_{2}$ 的右支于 $A, B$ 两点， $M A, M B$ 与直线 $x = 1$ 交于 $A_{1}, B_{1}$ 两点，记 $A, B, A_{1}, B_{1}$ 坐标分别为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4})$ ，求证： $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{3}} + \frac{1}{y_{4}}$ ；

(2)、从 $C_{2}$ 上的动点 $P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq \pm a)$ 引 $C_{1}$ 的两条切线，经过两个切点的直线与 $C_{2}$ 的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．

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2、已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a > 0)$ 在区间 $[2, 3]$ 上有最大值4和最小值1．设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (2^{x}) - k \cdot 2^{x} \geq 0$ 在 $x \in [- 1, 1]$ 上有解，求实数k的取值范围；

(3)、若 $f (|2^{x} - 1|) + k \cdot \frac{2}{|2^{x} - 1|} - 3 k = 0$ 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - x - 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $f (x) + x - ln x \geq 0$ 恒成立时，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} e^{\frac{1}{i}} > \ln (n + 1) + n$ .

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = 1, a_{n + 1} = S_{n} + 2^{n + 1}, n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{S_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{3^{n}}, \{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ；
①求 $T_{n}$ ；
②若对任意的正整数n，不等式 $5 - T_{n} < λ \cdot 2^{n}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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5、求下列函数的导数：

(1)、 $y = \ln 3$ ；

(2)、 $y = x^{- 3}$ ；

(3)、 $y = {(2 x + 3)}^{10}$ ；

(4)、 $y = e^{2 x + 1}$ ；

(5)、 $y = \ln (3 x - 2)$ ；

(6)、 $y = \sin 4 x$

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6、已知函数 $f (x) = |e^{x} - 1|$ ， $a > 0 > b$ ， $f (a) = f (b)$ ，则 $b (e^{a} - 2)$ 的最大值为．

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7、如图，现在提供3种颜色给A，B，C，D4个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不相同，共有种不同的涂色方案？

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 27 a_{2}$ ， $S_{3} = 26$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{1} + a_{4}} =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值点为 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $f^{'} (- 2) = 0$ C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, - 2)$ D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有两个不同的零点，则 $a \in (- \frac{1}{e^{2}}, + \infty)$

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10、下面是关于公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的四个命题，其中正确的有（）

A、数列 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{2 a_{n} - 1\}$ 是等差数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是递增数列 D、数列 $\{a_{n} + 3 n d\}$ 是递增数列

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11、下列说法中正确的有（）

A、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 $4^{3}$ 种报名方法 B、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 $3^{4}$ 种报名方法 C、4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有 $4^{3}$ 种可能结果 D、4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有 $3^{4}$ 种可能结果

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12、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 2$ ，则 $f (e^{x}) - e^{x} > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, ln 2)$ B、 $(ln 2, + \infty)$ C、 $(0, e^{2})$ D、 $(e^{2}, + \infty)$

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13、某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为 $x (x > 0)$ 千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为 $f (x)$ 千元与 $g (x)$ 千元，其中 $f (x) = 2 x$ ， $g (x) = 4 \ln (2 x + 1)$ ，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（）千元．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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14、三次函数 $f (x) = m x^{3} - x^{2} - x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是减函数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{3}]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, 1]$

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15、已知函数 $f (x) = 3 f^{'} (1) x - x^{2} + ln x + \frac{1}{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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16、函数 $f (x) = 6 + 12 x - x^{3}$ 的极小值点为（）

A、 $(4, - 10)$ B、 $(- 2, - 10)$ C、 $4$ D、 $- 2$

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17、已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{5} - 2 a_{3} = 1$ ，且 $a_{2} = 0$ ，则 $d =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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18、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、6 B、8 C、12 D、16

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3^{x} + 3}{3}, x \leq 1 \\ |\log_{3} (x - 1)|, x > 1 \end{cases}$ ，则函数 $F (x) = f [f (x)] - 3 f (x) - \frac{1}{2}$ 的零点个数是（）

A、 $6$ B、 $5$ C、 $4$ D、 $3$

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20、对于一个四元整数集 $A = \{a, b, c, d\}$ ，如果它能划分成两个不相交的二元子集 $\{a, b\}$ 和 $\{c, d\}$ ，满足 $a b - c d = 1$ ，则称这个四元整数集为“有趣的”．

(1)、写出集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 的一个“有趣的”四元子集：

(2)、证明：集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：

(3)、证明：对任意正整数 $n (n \geq 2)$ ，集合 $\{1, 2, 3, \dots, 4 n\}$ 不能划分成 $n$ 个两两不相交的“有趣的”四元子集．

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