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相关试卷

1、已知点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 及直线 $l : y = k x + 2$ ，如果 $l$ 上有且仅有 $3$ 个点 $P_{i} (i = 1, 2, 3)$ ，使得 $△ P_{i} A B$ 是直角三角形，则 $k$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $1$ D、 $\pm 1$

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2、在四面体 $O - A B C$ 中， $M$ 、 $N$ 分别是棱 $O A$ 、 $B C$ 的中点， $P$ 是 $M N$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O P} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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3、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 25$ .过点 $P (- 2, 2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当弦 $A B$ 的长最短时，直线 $l$ 的方程是（）

A、 $x + y = 0$ B、 $x - y = 0$ C、 $x + y - 4 = 0$ D、 $x - y + 4 = 0$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线互相垂直，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 2, S_{6} - S_{4} = 22$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、36 B、64 C、72 D、88

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6、已知两个向量 $\vec{a} = (x, 2, - 1), \vec{b} = (1, - 2, 1), \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $- 5$ B、 $- 1$ C、1 D、5

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7、过点 $P (- 1, 3)$ 且与直线 $x - 2 y - 3 = 0$ 平行的直线方程是（）

A、 $x - 2 y + 7 = 0$ B、 $x - 2 y - 7 = 0$ C、 $2 x + y - 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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8、直线 $x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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9、已知集合 $A = \{x |x^{3} - x - 7 \leq 0\}$ ， $B = \{y \in N |y = - x^{2} - 4 x - 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1\}$

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10、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in Z$ ， $x^{2} > 0$ ”是真命题 B、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- 1 < x < 3\}$ ，则 $3 b = 2 c$ C、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 16} + \frac{9}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ 的最小值为6 D、“ $m < 0$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正根和一负根”的充要条件

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11、图，已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面ABCD是边长为2的正方形， $E$ 为下底面圆周上一点，满足 $\overset{⌢}{B E} = 2 \overset{⌢}{A E}$ ，则异面直线AE与 $B O_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{95}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{95}}{10}$

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12、“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是 $1 %$ ，那么一年后是 ${(1 + 1 %)}^{365} = {1.01}^{365}$ ；如果每天的“退步率"都是 $1 %$ ，那么一年后是 ${(1 - 1 %)}^{355} = {0.99}^{365}$ ．一年后“进步者”是“退步者”的 $\frac{{1.01}^{365}}{{0.99}^{305}} = {(\frac{1.01}{0.99})}^{365} \approx 1481$ 倍．照此计算，大约经过（）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据： $\lg 1.01 \approx 0.00432, \lg 0.99 \approx - 0.00436$ ， $\lg 2 \approx 0.3010$ ）

A、33 B、35 C、37 D、39

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13、已知平面四边形 $A B C D$ ， $A B = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $∠ B C D = 30 °$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 边折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，此时 $A D ⊥ C D$ ，点 $P$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $B P ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $C D$ 的中点，求 $M P$ 与平面 $B P C$ 所成角的正弦值；

(3)、在（2）的条件下，求二面角 $P - B M - D$ 的平面角的余弦值．

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14、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 4$ ， $A B = A D = 2$ ，点 $M$ 和点 $N$ 在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C M = 2 C N = 2$ .

(1)、求证： $A M //$ 平面 $B D N$ ；

(2)、求证： $A_{1} C ⊥ D N$ .

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15、我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组 $[75$ ， $80)$ ，第2组 $[80$ ， $85)$ ，第3组 $[85$ ， $90)$ ，第4组 $[90$ ， $95)$ ，第5组 $[95$ ， $100]$ ，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；
（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ， $|\vec{a} + 4 \vec{b}| = 4$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{b}|$ 的最大值为．

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17、如图所示，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A B C = 120^{\circ}, P A = A B = B C = 6$ ，则 $|\vec{P C}| =$ ．

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18、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $△ A C D$ 和 $△ A B C$ 是全等三角形， $A B = A D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 1$ ．下面有两种折叠方法将四边形 $A B C D$ 折成三棱锥．折法①；将 $△ A C D$ 沿着 $A C$ 折起，得到三棱锥 $D_{1} - A B C$ ，如图1．折法②：将 $△ A B D$ 沿着 $B D$ 折起，得到三棱锥 $A_{1} - B C D$ ，如图2．下列说法正确的是（）．

A、按照折法①，三棱锥 $D_{1} - A B C$ 的外接球表面积恒为 $4 π$ B、按照折法①，存在 $D_{1}$ 满足 $A B ⊥ C D_{1}$ C、按照折法②﹐三棱锥 $A_{1} - B C D$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ D、按照折法②，存在 $A_{1}$ 满足 $A_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ，且此时 $B C$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成线面角正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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19、某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为 $60 °$ 和 $20 °$ ，且 $B C = a$ 米，则该球体建筑物的高度为（）米．

A、 $\frac{a}{4 \cos 10 °}$ B、 $\frac{a}{2 \cos 10 °}$ C、 $\frac{a \sin 10 °}{2 \sin 40 °}$ D、 $\frac{a \sin 10 °}{\sin 40 °}$

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20、已知圆 $C$ 经过坐标原点，且圆心为 $(2, 0)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l : 3 x + 4 y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，求弦长 $|A B|$ 的值；

(3)、过点 $P (4, - 4)$ 引圆 $C$ 的切线，求切线的方程．

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