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相关试卷

1、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则点 $M$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为.

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2、抛物线 $x^{2} = y$ 的焦点坐标是.

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3、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A Q} = m \vec{A B} + m \vec{A D} + n \vec{A A_{1}}$ （ $m, n \in (0, 1]$ ），则（）

A、 $A Q ⊥ B D$ B、当点Q在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内时， $m = 1$ C、 $B D_{1}$ 与平面 $Q A C$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ D、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，四棱锥 $Q - A B B_{1} A_{1}$ 的体积为定值

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4、下列命题正确的是（）

A、直线 $y = k x - 2$ 在 $y$ 轴的截距是 $2$ B、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $30 °$ C、过点 $(5, 4)$ 且倾斜角为 $90 °$ 的直线方程为 $x - 5 = 0$ D、过点 $P (1, 2)$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴正半轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ O A B$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最小值为 $4$ ．

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5、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与C的左支交于P，Q两点，若 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，且 $5 \vec{P F_{1}} = 3 \vec{F_{1} Q}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、2

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6、已知直线 $l_{1}$ ： $k x - y = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + k y - k - 1 = 0$ 相交于点P，若点P始终在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 2$ 内，则a的取值范围为（）

A、 $(- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- \frac{3}{2}, 2)$ D、 $(0, 1)$

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7、圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - m = 0$ 的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、3 C、7或 $- 1$ D、 $- 1$ 或3

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8、已知直线 $l$ 经过 $A (- 1, 2)$ ， $B (1, 4)$ 两点，则直线 $l$ 的倾斜角为( ).

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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9、命题“ $\forall x \in N$ ， $x^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in N$ ， $x^{2} < 0$ B、 $\forall x \in N$ ， $x^{2} < 0$ C、 $\forall x \notin N$ ， $x^{2} < 0$ D、 $\exists x \notin N$ ， $x^{2} \geq 0$

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10、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a \neq 0)$ 的焦距为 $10 \sqrt{2}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 7 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{7} x$ C、 $y = \pm \sqrt{7} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{7} x$

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11、中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比．已知当x比较大时， $y = \log_{a} (1 + x) (a > 1) \approx \log_{a} x$ ，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了（附： $lg 2 \approx 0.3010$ ）

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} + m x - 1$ （ $m \in R$ ）， $g (x) = \ln (x + 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) + g (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、求证： $x > 0$ 时， $g (x) > \frac{x^{2}}{e^{x} - 1}$ ．

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13、已知各项为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2 (a_{n + 1} - a_{n})}$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{1} C_{n}^{1} + a_{2} C_{n}^{2} + a_{3} C_{n}^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} C_{n}^{n}$ ．
（ⅰ）求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式及其前n项和 $T_{n}$ ；
（ⅱ）若 $c_{n} = \frac{2 b_{n}}{a_{n}}$ 且 $\sum_{i = 1}^{n} d_{i} = \sum_{i = 1}^{c_{n} - 1} \frac{1}{a_{i}}$ ，证明： $d_{n} \leq 1$ ．

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14、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ．过 $F_{2}$ 且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $△ A B F_{1}$ 的周长为 $8$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 的直线与椭圆 $E$ 的一个交点为 $P$ ( $P$ 在 $x$ 轴上方)，过点 $P$ 且平行于 $A B$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于另一点 $Q$ ，问：是否存在直线 $l$ ，使得四边形 $P A B Q$ 为平行四边形？若存在，求出此时四边形 $P A B Q$ 的面积；若不存在，说明理由．

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15、如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F / / A E$ ， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = 2$ ， $A E = B C = 2 C F = 4$ ．

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $A D E$ 与平面 $B D F$ 夹角的余弦值；

(3)、求四面体 $B - D E F$ 的体积．

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b > c$ ， $2 a cos A = b cos C + c cos B$ ， $△ A B C$ 的面积为 $12 \sqrt{3}$ ， $a = 2 \sqrt{13}$ ．

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、求 $b$ 的值；

(3)、求 $cos (2 B + A)$ 的值．

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17、已知函数 $f (x) = a x^{2} + 8 x + 1 (a \in R)$ ，若关于x的方程 $|f (x + 1) - a (2 x + 1) - 11| - |a x + 4| = 0$ 恰有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．

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18、已知平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $E$ 为线段 $B C$ 的中点．若 $F$ 为线段 $D E$ 上的一点，且 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，则 $λ =$ ， $|\vec{A F}|$ 的最小值为．

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19、中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为 $5 \frac{0}{0}, 4 \frac{0}{0}, 4 \frac{0}{0}$ ．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为．

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20、已知 $a \in R$ ，直线 $l : (a + 1) x + 2 y - 2 a = 0$ 恒过定点 $P$ ，圆 $C$ 的圆心与点 $P$ 关于直线 $y = x$ 对称，直线 $l^{'} : 2 x + y - 5 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $| A B | = 2$ ，则圆 $C$ 的半径为．

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