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相关试卷

1、如图，某电子实验猫线路图上有 $A$ ， $B$ 两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行， $A$ ， $B$ 两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $p (0 < p < 1)$ .同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在 $A$ 处遇到红灯的次数为 $X$ ，在 $A$ ， $B$ 两处遇到红灯的次数之和为 $Y$ ，则（）

A、 $P (X = 3) = \frac{40}{243}$ B、 $D (X) = \frac{8}{9}$ C、一次实验中， $A$ ， $B$ 两处至少遇到一次红灯的概率为 $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} p$ D、当 $p = \frac{2}{5}$ 时， $E (Y) = \frac{11}{3}$

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2、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $a^{2} + b^{2} \leq 2$ C、 $\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} \geq 2$ D、 $\frac{1}{4} < 2^{a - b} < 4$

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3、在湖南省桂阳县舂陵水上，巍然耸立着一座世界上最早的大型深孔溢流双曲线拦河拱坝，如图所示.若该拱坝下方边界线近似看作以直线 $y = \frac{3}{4} x$ 为其中一条渐近线的双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{16} = 1 (a > 0)$ 的上支， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为该双曲线的下焦点和上焦点，若 $M$ 为该拱坝下方边界线上的一点，则 $|M F_{1}| + \frac{36}{|M F_{2}| + 1}$ 的最小值为（）

A、17 B、 $\sqrt{17}$ C、11 D、 $\sqrt{11}$

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4、高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数 $f (x) = [x]$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[2.3] = 2$ ， $[- 1.9] = - 2$ .已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的第5项为5，前10项和为55，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的第3项为4，第6项为32.若数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $c_{n} = [- \log_{2} (T_{n} - 1)]$ ，则 $[c_{1000}] =$ （）

A、 $- 1009$ B、 $- 1010$ C、 $- 1011$ D、 $- 1012$

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5、扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）

A、1024cm² B、768cm² C、640cm² D、512cm²

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6、某地区2024年全年月平均温度 $y$ （单位：℃）与月份 $t$ 之间近似满足 $y = A \sin (\frac{π}{6} t + φ) + k$ $(A > 0, - π < φ < 0)$ .已知该地区2月份的月平均温度为 $- 1$ ℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（）

A、 $- 12$ ℃ B、 $- 10$ ℃ C、 $- 9$ ℃ D、 $- 6$ ℃

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7、已知命题 $p : \exists x \in R$ ， $a = e^{|x|}$ 为假命题，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- \infty, 1)$

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8、若复数 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，满足 $(2 + i) (1 - i) = \bar{z} + x$ ，则 $x + y$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 1, λ)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、2或 $- \frac{7}{2}$ B、 $- 2$ 或 $\frac{7}{2}$ C、2或 $\frac{7}{2}$ D、 $- 2$ 或 $- \frac{7}{2}$

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10、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = \{0, 1, 2 a\}$ ，若 $A = B$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ 或2 B、 $- 1$ 或1 C、 $- 1$ D、1

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11、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | x < 1$ 或 $x > 5}$ .

(1)、求 $A \cup B$

(2)、求 $A \cap (∁_{R} B)$

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12、对于函数 $f (x)$ ，若其定义域内存在非零实数 $x$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“局部奇函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ ，判断 $f (x)$ 是否为“局部奇函数”；

(2)、若幂函数 $g (x) = (n - 1) x^{3 - n} (n \in R)$ 使得 $f (x) = 2^{g (x)} + m$ 在 $[- 1, 1]$ 上是“局部奇函数”，求m的取值范围；

(3)、若整数 $m$ 使得 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ 是定义在 $R$ 上的“局部奇函数”，求m的取值集合.

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13、已知函数 $f (x) = - 2 x^{2} + 7 x - 3$ ．
（1）求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；
（2）当 $x \in (0, + \infty)$ 时，求函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 的最大值，以及 $y$ 取得最大值时 $x$ 的值．

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x, x \geq 0 \\ x^{2} - a x, x < 0 \end{array}$ ，若函数的值域为 $[0, + \infty)$ ，则下列的 $a$ 值满足条件的是（）

A、 $a = \frac{1}{2}$ B、 $a = - 3$ C、 $a = 0$ D、 $a = 4$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{3} =7, S_{4} =22$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列， $b_{1} =4$ ， $b_{3} =64$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、令 $p_{n} = \frac{3}{2+ a_{n}}$ ，数列 $\{p_{n} p_{n +2}\}$ 的前n项和 $A_{n}$ ，求证： $A_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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16、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $(a + b) (\sin A - \sin B) = (a - c) \sin C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的周长为 $2 \sqrt{3} π$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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17、函数 $y = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$ .
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当 $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ 时，求值域.

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18、已知 $\cos α = \frac{3}{5}$ ， $c o s (α + β) = \frac{8}{17}$ ， α，β均为锐角．

(1)、求 $\sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，点 $P$ 是线段 $B N$ 上一点．

(1)、若点 $P$ 是线段 $B N$ 的中点，试用 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 表示向量 $\vec{A P}$ ；

(2)、若 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + m \vec{A C}$ ，求实数 $m$ 的值．

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20、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{°}$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ .

(1)、求 ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2}$

(2)、当 $k$ 为何值时，向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直．

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