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相关试卷

1、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $(3, \sqrt{2})$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为直线l： $x + y = 1$ 上且不在x轴上的一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、设直线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．
（i）证明： $\frac{1}{k_{1}} + \frac{3}{k_{2}}$ 为定值；
（ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D} = 0$ ？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

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2、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B ⊥ A D$ ， $A C ⊥ C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = A B = B C$ ， $E$ 为 $P C$ 中点．

(1)、证明： $C D ⊥ A E$ ；

(2)、证明： $P D ⊥$ 平面ABE；

(3)、求二面角 $A - B E - C$ 的余弦值．

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3、已知直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于M，N两点， $|M N| = 8 \sqrt{15}$ ， O为坐标原点．

(1)、求p；

(2)、过点 $P (3, 2)$ 作直线l交抛物线 $C_{1}$ 于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积．

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4、设 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ．已知 $a_{1}$ ， $3 a_{2}$ ， $9 a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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5、已知动圆P与圆 $F_{1}$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 81$ 相切，且与圆 $F_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为．

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6、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点P满足 $\vec{B_{1} P} = λ \vec{B_{1} D_{1}} (λ \in R, λ \in [0, 1])$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $\exists λ \in [0, 1]$ ，使直线 $A_{1} P ⊥$ 平面 $P B_{1} B$ B、 $\forall λ \in [0, 1]$ ，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 体积为定值 $\frac{4}{3}$ C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，点P到AC的距离为 $\sqrt{5}$ D、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球表面积为 $11 π$

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7、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 B、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 C、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $|a_{n}| \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列 D、若各项为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $1 \leq a_{n} \leq 2025$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是常数列

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8、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ，则下列命题中正确的有（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(3, 1)$ B、圆 $C$ 被y轴截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ C、直线 $l$ 与圆 $C$ 恒相交 D、当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最小时，直线 $l$ 的方程为 $2 x - y + 5 = 0$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n}^{2}$ ， $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{2025} \frac{1}{a_{i} + 1} \in [m, m + 1)$ ， $m \in N^{*}$ ，则m等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{m - 1} = - 2$ ， $S_{m} = 0$ ， $S_{m + 1} = 3$ ，则m的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $(n + 2) a_{n + 1} = n a_{n}$ ，则它的前30项的和为（）

A、 $\frac{19}{29}$ B、 $\frac{28}{29}$ C、 $\frac{29}{30}$ D、 $\frac{30}{31}$

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论中一定成立的是（）

A、若 $a_{6} > 0$ ，则 $S_{2 n} < 0$ B、若 $a_{6} > 0$ ，则 $S_{2 n} > 0$ C、若 $a_{5} > 0$ ，则 $S_{2 n + 1} < 0$ D、若 $a_{5} > 0$ ，则 $S_{2 n + 1} > 0$

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13、在公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3}$ ， $a_{7}$ ， $a_{m}$ 是公比为2的等比数列，则 $m =$ （）

A、11 B、13 C、15 D、17

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14、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $(3 \sqrt{2}, 2)$ ，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$

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15、若a，b，l是空间中三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列命题中真命题是（）

A、若 $a // β$ ， $a \subset α$ ， $α \cap β = l$ ，则 $a // l$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $a ⊥ l$ ，则 $a ⊥ β$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a // b$ ，则 $α // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a ⊥ b$

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16、若条件 $p : x \leq 1$ ，且 $\neg p$ 是q的必要条件，则q可以是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x > 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x > 1$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{4} = 14$ ， $S_{3} = 15$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18、已知x，y为非零实数，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，则“ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ”是“存在非零实数x，y，使得 $x \vec{a} + y \vec{b} = \vec{0}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、 $\sin 18 ° \cos 36 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5} - 3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

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20、在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 1, 2)$ ， $B (- 1, 2, 2)$ ， $C (- 3, 1, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、若 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 互相垂直，求 $λ$ 的值；

(2)、求点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离．

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