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相关试卷

1、已知复数 $z = 1 - i$ （i为虚数单位），则 $| i z - 2 \bar{z} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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2、设 $a = 3^{0.1}, b = {log}_{0.5} 1.5, c = {log}_{3} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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3、下列叙述中正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或相反 B、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ D、对任一非零向量 $\vec{a}$ ， $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 是一个单位向量

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4、双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个顶点在直线 $l : y = x + 1$ 上，且其离心率为 $\sqrt{5}$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$ ．
（i）设点 $T$ 的横坐标为 $t$ ，求 $t$ 的取值范围；
（ii）设直线 $T P$ 和直线 $T M$ 分别与直线 $x = - 1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$ ，证明：直线 $P N$ 和直线 $M Q$ 交点在定直线上．
（附：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ 以点 $(m, n)$ 为切点的切线方程为 $\frac{m}{a^{2}} x - \frac{n}{b^{2}} y = 1$ ）

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5、如图， $△ A O D$ 与 $△ B O C$ 存在对顶角 $∠ A O D = ∠ B O C = \frac{π}{4}$ ， $A C = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ ，且 $B C = A D$ ．

(1)、证明： $O$ 为 $B D$ 中点；

(2)、若 $\sqrt{5} \sin 2 A + \cos B = \sqrt{5}$ ，求 $O C$ 的长．

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6、已知函数 $f (x) = x (a + \ln x)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线与 $y = 4 x - 1$ 平行．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的极值．

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7、已知 $\tan α \tan β = 2$ ， $\cos (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + β) =$ ．

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8、直线 $3 x + 2 y = 6$ 经过椭圆 $m^{2} x^{2} + n^{2} y^{2} = 1$ 的两个顶点，则该椭圆的离心率为．

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9、已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点的直线与该抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 12$ ，若 $△ O A B$ 面积为 $4 \sqrt{6}$ ，则 $p =$ （）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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10、某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是（）

A、 $a = 0.05$ B、评分的众数估值为70 C、评分的第25百分位数估值为67.5 D、评分的平均数估值为76

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11、有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（）

A、40 B、48 C、52 D、60

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12、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 0$ ， $S_{6} = 2 S_{3} - 12$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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13、若复数z满足 $(z + i) (1 - 2 i) = 5$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{5}$

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14、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - \frac{2}{3}$ 在区间( $a - 1$ ， $a + 5$ )内存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、[－5，1) B、(－5，1) C、[－2，1) D、(－2，1)

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15、在前n项和为 $S_{n}$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{3} = 6$ ， $S_{6} = 10$ ，则 $S_{9} =$ .

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 6, a_{4} a_{6} = 27$ ，则 $a_{7}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) - 1$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的图象两邻对称轴之间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，若将 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{6}$ 单位，再向上平移1个单位，所得函数 $g (x)$ 为奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x \in [0, \frac{π}{3}]$ ， $f^{2} (x) - (2 + m) f (x) + 2 + m \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = 2 f (x) + 3$ 的图象在区间 $[a, b]$ （ $a, b \in R$ 且 $a < b$ ）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间 $[a, b]$ 上，求 $b - a$ 的最小值.

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18、已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 \cos^{2} x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(3)、若不等式 $| f (x) - m | < 1$ 对 $x \in [- \frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、某同学用“五点作图法”画函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
$ω x + φ$
$0$
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3π}{2}$
$2 π$
$x$
$\frac{π}{8}$
$\frac{5π}{8}$
$A sin (ω x + φ)$
$0$
$\sqrt{2}$
$0$
$- \sqrt{2}$
$0$

(1)、请将上表数据补充完整，并求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) = m (m \in R)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有两根，求 $m$ 的取值范围.

(3)、若 $f (x) = \frac{4}{3}$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有两根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $f (x_{2} - x_{1})$

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20、（1）已知 $α ， β$ 都是锐角，且 $\tan α = \frac{1}{7}$ ， $\tan β = \frac{1}{3}$ ，求 $α + 2 β$ 的值.
（2）已知 $\sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $\sin (α - β) = \frac{1}{5}$ ，求 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值.

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$ω x + φ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3π}{2}$	$2 π$
$x$		$\frac{π}{8}$		$\frac{5π}{8}$
$A sin (ω x + φ)$	$0$	$\sqrt{2}$	$0$	$- \sqrt{2}$	$0$