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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 成等比数列， $S_{5} = 25$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，记 $b_{n} = {(- 1)}^{n} S_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前40项的和 $T_{40}$ .

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 11$ ， $a_{4} + a_{7} = 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、当 $n$ 为何值时，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和取得最大值？

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3、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 $\{a_{n}\}$ ，正方形数构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则 $a_{10} =$ ； $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{b_{i + 1} - a_{i + 1}} =$ .

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4、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \ln (1 + \frac{1}{n})$ ，则 $a_{5} =$ .

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5、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 3, S_{10} = 9$ ，则 $S_{15} =$ .

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6、已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} \geq S_{3}$ ，则 $\frac{a_{6}}{a_{5}}$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{9}{4}$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则下列结论中正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 是等比数列 B、若 $a_{3} = 2$ ， $a_{7} = 32$ ，则 $a_{5} = \pm 8$ C、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 3^{n - 1} + r$ ，则 $r = - 1$ D、若 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} - 5 x + 2 ln x$ ，则能令 $f^{'} (x) > 0$ 的区间有（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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9、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1} - a_{n} + 1 = 0$ ， $a_{1} = λ$ （ $λ \neq 0$ ，且 $λ \neq \pm 1$ ），记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ ，则 $T_{2023} =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{λ}$ C、 $\frac{1 - λ}{1 + λ}$ D、 $\frac{λ (λ - 1)}{1 + λ}$

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10、函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，下列排序正确的是（）

A、 $f (a + 1) - f (a) ＜ f^{'} (a) ＜ f^{'} (a + 1)$ B、 $f^{'} (a + 1) ＜ f^{'} (a) ＜ f (a + 1) - f (a)$ C、 $f^{'} (a + 1) ＜ f (a + 1) - f (a) ＜ f^{'} (a)$ D、 $f^{'} (a) ＜ f (a + 1) - f (a) ＜ f^{'} (a + 1)$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $S_{10} = 20$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ （）

A、0 B、2 C、4 D、8

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12、若 $f (x) = x^{3} + x - 1, f^{'} (x_{0}) = 4$ ，则 $x_{0}$ 的值为（）

A、 $\pm 3 \sqrt{3}$ B、 $\pm 1$ C、 $- 1$ D、1

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前几项为： $- 1, 4, - 7, 10, \dots$ ，则该数列的一个通项公式可能为（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} (3 n - 2)$ B、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (3 n - 2)$ C、 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} (3 n + 1)$ D、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (3 n + 1)$

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14、如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 $3 \sqrt{5}$ nmile， $∠ B A D$ 为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ .

(1)、求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积；

(2)、记 $∠ B D C$ 为 $α$ ， $∠ C B D$ 为 $β$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值.

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15、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \frac{1}{2}$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \sqrt{2} \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若对任意的实数 $λ$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} + 2 λ \vec{b} |$ 恒成立，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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16、设三角形 $A B C$ 的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知 $a = \sqrt{7}$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} + b c = 0$ .

(1)、求三角形 $A B C$ 外接圆半径；

(2)、若三角形 $A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $b + c$ 的值.

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17、设复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ， $1 \leq | z | \leq 2$ ，则 $| z + 1 |$ 的取值范围是．

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{array}$ 是R上的增函数，则实数a的取值范围是.

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19、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a \sin B) \sin C = \sqrt{3} (b \sin B - a \sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ B、若 $D$ 是 $A C$ 边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、若三角形是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若三角形是锐角三角形， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 1$ ，则 $4 a + c$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列说法正确的是（）.

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan θ = \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $θ$ 的值为 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围为 $[- \sqrt{3}, 2]$ D、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

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