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相关试卷

1、已知两条不同直线 $l, m$ 与两个不同平面 $α, β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ α$ ， $l // β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $l // α, l ⊥ m$ ，则 $m ⊥ α$ C、若 $l // α, m // α$ ，则 $l // m$ D、若 $α // β, m // α$ ，则 $m // β$

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2、双曲线 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线方程为

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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3、直线 $y = \sqrt{3} x - 1$ 的倾斜角为（）

A、 $15 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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4、设 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是椭圆上一点，且 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ ．则下列说法中正确的是（）

A、 $|P F_{1}| = 5, |P F_{2}| = 3$ B、离心率为 $\frac{1}{2}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为6 D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为12

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5、已知函数 $f (x) = m \cdot 9^{x} - 3^{x + 1} - m$ .

(1)、当 $m = \frac{3}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $m$ 的取值范围.

(3)、若在函数 $g (x)$ 的定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $g (a + x_{0}) + g (a - x_{0}) = 2 b$ 成立，则称 $g (x)$ 为局部对称函数，其中 $(a, b)$ 为 $g (x)$ 的图象的局部对称点.若 $(1, 0)$ 是 $f (x)$ 的图象的局部对称点，求实数 $m$ 的取值范围.

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a sin B = - \sqrt{3} b cos A$ ，角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = 1$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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7、如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧棱 $A A_{1}$ 长为3，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 120 °$ ，则 $A C_{1} =$ .

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8、已知圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 41 - m$ 有三条公切线，则 $m =$ （）

A、5 B、16 C、32 D、36

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9、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 4 m + 4) \cdot x^{2 m - 4}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (1 - 2 x) < f (x + 2)$ ，求 $x$ 的取值范围．

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10、已知函数 $y = f (x)$ 可表示为
$x$
$0 < x < 2$
$2 \leq x < 4$
$4 \leq x < 6$
$6 \leq x \leq 8$
$y$
1
2
3
4
则下列结论正确的是（）

A、 $f (f (4)) = 3$ B、 $f (x)$ 的值域是 $\{1, 2, 3, 4\}$ C、 $f (x)$ 的值域是 $[1, 4]$ D、 $f (x)$ 在区间 $[4, 8]$ 上单调递增

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11、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P B = P D = 4, ∠ P D A = \frac{π}{3}, M$ 是 $C D$ 的中点， $A M = \sqrt{5}$ .

(1)、证明：平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $N$ 是棱 $P B$ 上靠近点 $P$ 的三等分点，求直线 $C D$ 与平面 $A M N$ 所成角的大小.

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12、已知 $f (x)$ 是各项均为正整数的函数，且 $f (1) = 4, f (7) = 8$ ，对 $\forall k \in N^{*}, f (k + 1) = f (k) + 1$ 与 $f (k + 1) = \frac{1}{2} f (k + 2)$ 有且仅有一个成立，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (7)$ 的最小值为（）

A、21 B、20 C、19 D、18

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13、如图，已知 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $B B_{1} / / A A_{1}$ ， $A B = A C = 3$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ， $A A_{1} = \sqrt{7}$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{7}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $B C B_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C B_{1}$ 所成角的大小；

(3)、若点 $F$ 为 $A_{1} C$ 的中点，求点 $C$ 到平面 $A E F$ 的距离．

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14、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (\sin C, \cos C)$ ， $\vec{n} = (2 \sin A - \cos B, - \sin B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角C的值；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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15、为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、估计这500名学生健康指数的平均数 $\bar{x}$ （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现从体质健康指数在区间 $[75, 85)$ 和 $[85, 95]$ 内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间 $[75, 85)$ 内的概率.

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16、已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且 $B = \frac{π}{3}$ ， $b = 2$ .
（1）若 $c = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $\sin A$ 的值；
（2）当 $\overset{⃑}{C A} \cdot \overset{⃑}{C B}$ 取得最大值时，求A的值.

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17、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱BC， $C C_{1}$ 的中点， $Q$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内一点，若 $A_{1} Q ∥$ 平面AEF.则线段 $A_{1} Q$ 长度的最大值与最小值之和为.

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18、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，当向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为钝角时，实数 $λ$ 的取值范围为.

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19、某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差 $s^{2} =$ .

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20、《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B, A B = 2$ ，其外接球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = \sqrt{6}$ B、 $V = 6$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $P - A B C$ 内切球的半径为 $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{3}$

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$x$	$0 < x < 2$	$2 \leq x < 4$	$4 \leq x < 6$	$6 \leq x \leq 8$
$y$	1	2	3	4

性别	人数	平均数	方差
男生	100	172	18
女生	60	164	30