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相关试卷

1、函数 $y = \sqrt{x - 2}$ 的定义域是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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2、 $A = \{- 1, 1, 2, 4\}$ ， $B = \{2, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 4, 5\}$ B、 $\emptyset$ C、 $\{2, 4\}$ D、 $\{- 1, 1, 2, 4\}$

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3、碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔 $E D$ 的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为 $45 °$ ，再沿 $A C$ 方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为 $60 °$ ，塔底点E的仰角为 $30 °$ ，那么碧津塔高约为（ $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）（）

A、37.54 B、38.23 C、39.53 D、40.52

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4、已知实数 $a > b > 0$ ，当 $2 a + b + \frac{1}{a - b} + \frac{4}{a + 2 b}$ 取得最小值时，则 $\frac{a}{b}$ 的值为．

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5、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A D = A A_{1} = A B = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ D A B = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $\vec{A_{1} C_{1}} = 3 \vec{N C_{1}}$ ， $\vec{D_{1} B} = 2 \vec{M B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ；

(1)、试用 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ；

(2)、求 $M N$ 的长度；

(3)、求直线 $M N$ 与 $B D$ 所成角的余弦值．

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6、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$

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7、如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水， $A B = 8, A_{1} B_{1} = 2$ ，图1中水面高度恰好为棱台高度的 $\frac{1}{2}$ ，图2中水面高度为棱台高度的 $\frac{2}{3}$ ，若图1和图2中纯净水的体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{287}{208}$ D、 $\frac{387}{208}$

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8、已知圆 $C_{1} : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - b)}^{2} = 1$ 恰有 $3$ 条公切线，则 $a b$ 的最大值是（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $4$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、已知 $p$ ： $x^{2} - 4 x < 0$ ，则 $p$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $- 2 < x < 0$ B、 $0 < x < 2$ C、 $0 < x < 4$ D、 $1 < x < 3$

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10、已知函数 $f (x) = x ln x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq a (x - \sqrt{x})$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 成立，求实数 $a$ 的值；

(3)、若 $x_{1}, x_{2} \in (0, 1)$ ，求证： $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq {|x_{1} - x_{2}|}^{\frac{1}{2}}$ ．

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11、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，其右顶点为 $A_{1}$ ，上顶点为 $B_{1}, O$ 为坐标原点，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、设 $C_{1}$ 在点 $M$ 处的切线 $l$ ，其斜率为 $k_{1}, O M$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(2)、过 $C_{1}$ 在第一象限的点 $P_{1}$ 作椭圆 $C_{1}$ 的切线，分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A_{2}, B_{2}$ ，且 $P_{1}$ 为线段 $A_{2} B_{2}$ 的中点，记以点 $O$ 为中心， $x$ 轴， $y$ 轴为对称轴，且过点 $A_{2}, B_{2}$ 的椭圆为 $C_{2}$ ，依此类推， $\dots$ ，过椭圆 $C_{n}$ 在第一象限的点 $P_{n}$ 作椭圆 $C_{n}$ 的切线，分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A_{n + 1}, B_{n + 1}$ ，且 $P_{n}$ 为线段 $A_{n + 1} B_{n + 1}$ 的中点，记以点 $O$ 为中心， $x$ 轴， $y$ 轴为对称轴，且过点 $A_{n + 1}, B_{n + 1}$ 的椭圆为 $C_{n + 1}$ ，由此得到一系列椭圆 $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \dots, C_{n}, C_{n + 1}$ .
（i）求 $C_{n}$ 的方程；
（ii）过点 $(1, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C_{k}$ 分别交于 $Q_{k}, R_{k}$ ，求证： $\begin{array}{r} \frac{{|Q_{1} R_{1}|}^{2}}{{|Q_{2} R_{2}|}^{2}} + \frac{{|Q_{2} R_{2}|}^{2}}{{|Q_{3} R_{3}|}^{2}} + \dots + \frac{{|Q_{n} R_{n}|}^{2}}{{|Q_{n + 1} R_{n + 1}|}^{2}} > \frac{n - 1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}} \end{array}$ .
（附：若 $T (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上一点，则椭圆在点 $T$ 处的切线方程为： $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ）

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12、已知函数 $f (x) = \frac{a}{x + 1}$ 和 $g (x) = \frac{x + b}{2 x}$ 的图象在 $x = 1$ 处有相同的切线.

(1)、求实数 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、求函数 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的极值；

(3)、当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) < \frac{m ln x}{x - 1} < g (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值集合.

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13、在某游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器.该游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：
①每次祈愿获取五星角色的概率 $p_{0} = 0.006$ ；
②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；
③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立.
设随机变量 $X$ 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数.

(1)、求 $P (X = k)$ 的解析式；

(2)、求 $X$ 的数学期望 $E X$ .
参考数据： ${0.994}^{90} \approx 0.592$

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14、如图四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, △ A C D$ 是边长为2的等边三角形，且 $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ，点 $M$ 在棱 $P C$ 上.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $\vec{C M} = \frac{1}{4} \vec{C P}$ ，求直线 $M B$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $- a cos A$ 是 $b cos C$ 与 $c cos B$ 的等差中项.

(1)、求 $A$ ；

(2)、如图所示， $D$ 为平面上一点，与 $△ A B C$ 构成一个四边形 $A B D C$ ，且 $∠ B D C = \frac{π}{3}$ ，若 $c = b = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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16、已知 $Ω$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ ，设 $Ω$ 的四个顶点到平面 $α$ 的距离所构成的集合为 $M$ ，若 $M$ 中元素的个数为 $k$ ，则称 $α$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距平面， $M$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距集.如果 $α$ 为 $Ω$ 的1阶等距平面且1阶等距集为 $\{m\}$ ，则符合条件的 $α$ 有个， $m$ 的所有可能取值构成的集合是.

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17、已知函数 $f (x) = - x^{3} + m x^{2} (m > 0), x \in [1, + \infty)$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (n), n \in N_{+}$ ，给出下列两个条件：①函数 $f (x)$ 是递减函数；②数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数 $f (x)$ 的解析式： $f (x) =$ .

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18、已知公式 $e^{i x} = cos x + isin x$ ，其中 $i$ 是虚数单位，根据此公式计算 $i \cdot e^{- \frac{π}{4} i}$ 的虚部是.

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19、已知点 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 的焦点，直线 $l$ 经过点 $F$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，与准线交于点 $D$ ，且 $B$ 为 $A D$ 中点，则下面说法正确的是（）

A、 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ B、直线 $l$ 的斜率是 $k = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $|A B| = 9$ D、设原点为 $O$ ，则 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{26}{3}$

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20、下列命题正确的是（）

A、已知 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.3 - 0.7 x$ ，则样本点 $(3, - 4)$ 的残差为 $- 2.2$ B、数据 $4, 6, 7, 7, 8, 9, 14, 11, 15, 19$ 的 $75 %$ 分位数为11 C、已知随机变量 $X \sim B (7, 0.5), P (X = k)$ 最大，则 $k$ 的取值为3或4 D、对于随机事件 $A$ 与 $B, P (A) > 0, P (B) > 0$ ，若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立

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