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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} tanπ x, x < 0, \\ - \frac{\sqrt{x}}{2}, x \geq 0, \end{array}$ 则 $f (f (\frac{16}{9})) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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2、集合 $A = \{x ∣ |x - 3| \leq 3\}, B = \{y ∣ y = 2^{x}, - 2 \leq x \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[\frac{1}{4}, 2]$ B、 $[0, 6]$ C、 $R$ D、 $\emptyset$

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3、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形，侧面 $P A B$ 是等边三角形， $B C = 2 A B = 4$ ， $A B ⊥ A C$ ， $P B ⊥ A C$ .请用空间向量的知识解答下列问题：

(1)、求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成角的大小；

(2)、设Q为侧棱PD上一点，四边形 $B E Q F$ 是过B，Q两点的截面，且 $A C / /$ 平面 $B E Q F$ ，是否存在点Q，使得平面 $B E Q F$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{35}}{35}$ ？若存在，求 $\frac{D Q}{D P}$ 的值；若不存在，说明理由.

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4、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x - 1} - a x^{2} + 2 a x$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、“ $0 < x < 1$ ”是“ $| x (x - 1) | = x (1 - x)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $e - 1$ D、 $e$

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7、数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线： $|x |^{n} +| y |^{n} = 1 (n > 0)$ ，当 $n = 2$ 时，是我们熟知的圆；当 $n = \frac{2}{3}$ 时，曲线 $E : | x |^{\frac{2}{3}} + | y |^{\frac{2}{3}} = 1$ 是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线 $E$ 说法错误的是（）

A、曲线 $E$ 关于 $x$ 轴对称 B、曲线 $E$ 上的点到 $x$ 轴， $y$ 轴的距离之积不超过 $\frac{1}{8}$ C、曲线 $E$ 与 $|x| + |y| = 1$ 有8个交点 D、曲线 $E$ 所围成图形的面积小于2

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 - 2 sin \frac{π x}{2}, 0 \leq x \leq 2 \\ - x + 1, x < 0 \end{array}$ ，若存在实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) + x_{3} f (x_{3})$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{9}{2}]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[\frac{9}{4}, \frac{9}{2}]$ D、 $[2, \frac{9}{4}]$

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9、已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $12 π$ C、 $16 π$ D、 $24 π$

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10、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq x\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x}, x > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）．

A、R B、 $[0, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $[0, 1]$

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11、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, \vec{b} = (\sqrt{2}, - 1), |\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为．

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12、函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝ $\frac{3 π}{4}$ ， AB⊥AD，AB＝1．

（1）若AC＝ $\sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（2）若∠ADC＝ $\frac{π}{6}$ ， CD＝4，求sin∠CAD．

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14、如图所示正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中的棱长为 $a$ ，连 $A_{1} C_{1}, A_{1} D, A_{1} B, B D, B C_{1}, C_{1} D$ 得到三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$

(1)、求三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$ 表面积与正方体表面积之比

(2)、求三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$ 的体积

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15、已知 $| \vec{C B} | = n, | \vec{C A} | = m$ 且 $\vec{C B} \cdot \vec{C A} = 0 (m > 0, n > 0)$

(1)、若 $D$ 为 $A B$ 中点，求证： $|\vec{C D}| = \frac{1}{2} |\vec{A B}|$ ；

(2)、若 $E$ 为 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 延长交 $B C$ 于 $F$ ，用 $\vec{C B}, \vec{C A}$ 表示 $\vec{A F}$ ，并求 $| \vec{A F} |$ .

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16、已知复数 $z = b i (b \in R)$ ， $\frac{z - 2}{1 + i}$ 是纯虚数

(1)、求复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$

(2)、若复数 ${(m + z)}^{2}$ 所对应的点在第二象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、 $△ A B C$ 中有 $b^{2} = a c, a^{2} + b c = c^{2} + a c$ ，则 $\frac{c}{b \sin B} =$ .

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18、已知 $a$ 是实数， $\frac{a - i}{2 + i}$ 是纯虚数，则 $a =$ .

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19、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在球 $O$ 的表面上， $A B = B C = C A = 2$ ，且球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离等于球半径的 $\frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、球 $O$ 的表面积为 $6 π$ B、球 $O$ 的内接正方体的棱长为1 C、球 $O$ 的外切正方体的棱长为 $\frac{4}{3}$ D、球 $O$ 的内接正四面体的棱长为2

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20、下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是（）

A、若两个平面有三个公共点，则它们一定重合 B、空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 C、直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线 a，b是异面直线 D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 是 $B_{1} D_{1}$ 的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $A B_{1} D_{1}$ 于点 $M$ ，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面

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