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相关试卷

1、已知过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (2, 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在第一象限），以 $A B$ 为直径的圆 $E$ 与抛物线 $C$ 的准线相切于点 $D$ .若 $|A D| = \sqrt{3} |B D|,$ $O$ 为坐标原点，则 $△ A O B$ 的面积为.

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2、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) + cos ω x (ω > 0), f (x_{1}) = 0, f (x_{2}) = \sqrt{3}$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω =$ .

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3、已知实数 $a, b, c$ 满足 $3^{a} = 6^{b} = c$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $c =$ .

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4、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、 $f^{2} (x) - g^{2} (x) = 1$ B、对任意实数 $x, y, g (x + y) g (x - y) = g^{2} (x) + g^{2} (y)$ C、 $f (2 x) = f^{2} (x) + g^{2} (x)$ D、若直线 $y = t$ 与函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > ln (1 + \sqrt{2})$

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5、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 都是复数，下列正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{1} z_{2} \in R$ B、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$

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6、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} + 1$ ，且 $a_{1} = 0$ ，则 $|S_{30}|$ 的最小值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7、已知某正三棱柱外接球的表面积为 $4 π$ ，则该正三棱柱体积的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} + a, x \leq 0 \\ - ln (x + 1) + a, x > 0 \end{array}$ ，在 $R$ 上没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup \{0\}$ C、 $[1, + \infty) \cup \{0\}$ D、 $(1, + \infty) \cup \{0\}$

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9、甲､乙､丙､丁､戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（）

A、36种 B、48种 C、54种 D、64种

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10、若 $tan α = 2 tan β, sin (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (- \sqrt{3}, - 1), \vec{b} = (1, 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- 1$

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12、以 $y = \pm 2 x$ 为渐近线的双曲线可以是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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13、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}, B = \{x \in N ∣ 2 - x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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14、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ${(\sin B + \sin C)}^{2} = \sin^{2} A + \sin B \sin C$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b + c = 5$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求a的值．

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15、已知复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，以下结论正确的是（）

A、 $z^{2025}$ 是纯虚数 B、 $|z + i| = 2$ C、 $z \cdot \bar{z} = - 1$ D、在复平面内，复数 $\bar{z} + z \cdot i$ 对应的点位于第三象限

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16、已知 $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c；

(1)、若 $b = 4$ ， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $A = 120 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $a^{2} - b^{2} - c^{2} - b c = 0$ ，求角A的值.

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17、已知函数 $f (x) = x - ln (x + a)$ 的最小值为0，其中 $a > 0$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意的 $x \in [0, + \infty)$ ，有 $f (x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{2 i - 1} - \ln (2 n + 1) < 2 (n \in N^{*})$ ．

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} = (- 3, - 2)$ ， $\vec{a} // (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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19、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ .

(1)、求 $f (2)$ ；

(2)、求 $x > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若 $f (a - 1) < 6$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、如图，已知 $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点 $G$ 是 $△ A B C$ 内一点.过点 $G$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $D$ ，与线段 $A C$ 交于点 $E$ .设 $\vec{A D} = λ \vec{A B}, \vec{A E} = μ \vec{A C}$ ，且 $λ \neq 0, μ \neq 0$ .

(1)、若 $\vec{A G} = \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，求 $△ G A B$ 的面积 $S_{△ G A B}$ ；

(2)、求 $\vec{G A} \cdot (\vec{G B} + \vec{G C})$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，设 $△ A D E$ 的周长为 $c_{1}$ .
（i）求 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的值；
（ii）设 $t = λ μ$ ，记 $f (t) = \frac{1}{3} c_{1} - t$ ，求 $f (t)$ 的值域.

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