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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + t x (1 - \ln x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $1 < \frac{x_{2}}{x_{1}} < 2$ 时， $t$ 的取值范围是．

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2、过点 $A (- \frac{1}{8}, \frac{1}{8})$ 的直线 $l$ 与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于 $M, N$ 两点，且 $O M ⊥ O N$ ， $O A ⊥ M N$ ，则 $p =$ ．

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3、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数为3，方差为1，则数据 $3 x_{1} + 1$ ， $3 x_{2} + 1$ ， $3 x_{3} + 1$ ， …， $3 x_{n} + 1$ 的平均数与方差的和为．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{2 \cdot 4^{x}}{4^{x} + 4}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (\frac{n}{1013}) (n \in N^{*})$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(1, 1)$ B、函数 $y = f (x - 1) - 1$ 为奇函数 C、不等式 $f (3 x + 1) + f (2 x - 3) > 2$ 的解集为 $(\frac{4}{5}, + \infty)$ D、若 $S_{2025} = \frac{2025}{2} (a + b)$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{2 | a |} + \frac{| a |}{b}$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$

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5、如图，圆锥SO的底面圆直径为AB， $O S = O A$ ， $C O ⊥ A B$ ， D为底面圆上的动点，则（）

A、当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B、当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C、直线SD与AB所成角的最小值为45° D、直线SD与AB所成角的最大值为60°

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6、从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（）

A、 $C_{40}^{15} C_{15}^{7}$ B、 $C_{40}^{7} C_{33}^{8}$ C、 $C_{40}^{8} C_{32}^{7}$ D、 $C_{15}^{7} C_{25}^{8}$

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7、在平面直角坐标系中，若点 $A (4 + 2 \cos θ, 1 + 2 \sin θ)$ 到直线 $y = k x + 2$ 的距离不小于2，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k \geq 2$ B、 $k \geq \frac{15}{8}$ C、 $k \geq 2$ 或 $k \leq - 2$ D、 $k \geq \frac{15}{8}$ 或 $k \leq - \frac{15}{8}$

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8、如图，直线 $y = \pm m$ 与函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，若 $x_{1} + x_{2} = \frac{π}{6}$ ， $x_{2} + x_{3} = \frac{2 π}{3}$ ，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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9、下列不等式正确的为（）

A、 $7^{\sqrt{5}} > 8^{\sqrt{5}}$ B、 ${1.6}^{0.4} < {0.4}^{1.6}$ C、 $\log_{2} 3 > \log_{3} 4$ D、 $\sin 2 < \sin \frac{π}{3}$

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10、圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则圆台的体积为（）

A、 $7 \sqrt{3} π$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{25}{3} \sqrt{3} π$ D、 $\frac{26}{3} \sqrt{3} π$

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11、已知向量 $\vec{a} = (x, x - 6)$ ， $\vec{b} = (1, x - 4)$ ，则 $x = 2$ 是 $\vec{a} // \vec{b}$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知全集 $U = \{x| - 2 < x < 4\}$ ，集合 $A = \{x| |x - 1| \leq 1\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- 2, 0] \cup [2, 4)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, 4)$

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13、已知复数 $z$ 满足 $(2 + i) \cdot z = 5$ ，则 $z =$ （）

A、2 B、 $i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{a - 2^{x}}{2 + 2^{x + 1}}$ （ $a$ 为实数）是奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、解不等式： $f (x) > - \frac{1}{4}$ ；

(3)、若实数 $m$ 满足 $f (2 m^{2} - 3) + f (1 - 3 m) > 0$ ，求 $m$ 的取值范围.

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15、根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型 $y = \frac{N}{1 + (\frac{N}{y_{0}} - 1) e^{- p x}}$ ，其中 $N$ 为饱和度， $y_{0}$ 为初始值，此后第 $x$ 年底新能源汽车的保有量为 $y$ （单位：万辆）， $p$ 为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为 $10 %$ ，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约万辆.（结果四舍五入保留到整数；参考数据： $ln 0.61 \approx - 0.5, ln 0.55 \approx - 0.6, ln 0.49 \approx - 0.7$ ）

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16、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ，若 $- 1 \leq x \leq 0$ 时， $f (x) = {log}_{2} (3 + 2 x)$ ，则 $f (\frac{57}{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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17、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a (c o s A c o s B - s i n C c o s C) = (c s i n C - b c o s A) c o s A ，$ 则下列说法正确的是（）

A、a可能是最大边 B、b可能是最大边 C、a可能是最小边 D、c可能是最小边

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18、若 $\sqrt{3} sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 \sqrt{3} sin 2 (x + φ)$ ，则 $φ$ 的一个可能的值是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $- \frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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19、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $A = \frac{π}{4}$ ， $cos B = \frac{3}{5}$ ， $c = 7$ ，则 $a =$ （）

A、10 B、5 C、2 D、4

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20、在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 $F = \frac{q}{x}$ ， $x$ 为道路密度， $q$ 为车辆密度.已知某道路的交通流量 $F = f (x) = \{\begin{matrix} 100 - 45 \cdot {(\frac{1}{3})}^{x}, 0 < x < 40 \\ - k (x - 40) + 85, 40 \leq x \leq 80 \end{matrix} (k > 0)$ ，

(1)、若交通流量 $F > 95$ ，求道路密度 $x$ 的取值范围；

(2)、若道路密度 $x = 80$ 时，测得交通流量， $F = 50$ ，求车辆密度 $q$ 的最大值.

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