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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C, A D ⊥ D C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1, E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45 °$ ．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离．

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C ⊥ A C, B C ⊥ C C_{1}$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $C D B_{1}$ ；

(2)、若侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 为菱形，求证： $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

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3、设两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，

(1)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 方向的单位向量；

(2)、若向量 $2 t \vec{a} + 7 \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} + t \vec{b}$ 反向，求实数 $t$ 的值．

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, P$ 分别为 $B_{1} C_{1}, D D_{1}$ 和 $B B_{1}$ 的中点，则下列说法正确的序号有.
① $N$ ， $P$ ， $B$ ， $M$ 四点共面；② $A D_{1} //$ 平面 $N M P$ ；③ $P N$ 与 $B C_{1}$ 所成角为 $60 °$ .

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5、平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4, A D = 2, A C$ 交 $B D$ 于 $O$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B D}$ 等于．

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + cos 2 x + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12}, 1)$ 中心对称 C、 $f (x + \frac{π}{12})$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{3 π}{2}]$ 上恰有4个零点

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7、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = 3 \vec{D C}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{C M} = 2 \vec{M D}$ ， $N$ 是 $B C$ 的中点.设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则下列等式正确的是（）

A、 $\vec{B D} = \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{A C} = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{B M} = - \frac{8}{9} \vec{a} + \vec{b}$ D、 $\vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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8、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $E$ 为 $A D$ 上一点， $\overset{⃑}{B E} \cdot \overset{⃑}{A C} = 0$ ．若 $\overset{⃑}{B E} = λ \overset{⃑}{B A} + μ \overset{⃑}{B C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $\frac{10}{7}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{25}{16}$ D、 $\frac{29}{18}$

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9、若 $sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $cos (\frac{π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、1 D、 $- 1$

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 3 c$ ， $\sin C = \frac{1}{5}$ ，则 $\sin A =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11、已知一组数据2，3，4，1，5，则其上四分位数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、已知复数 $z = \frac{2 - 5 i}{i}$ ，则 $z$ 的实部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、5 D、 $- 5$

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13、已知 $f (x) = {(2 x - 3)}^{n}$ 的展开式的二项式系数的和为512，且 $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{n} {(x - 1)}^{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 1$ B、 $∣ a_{0} ∣ + ∣ a_{1} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣ = 3^{9}$ C、 $f (6)$ 除以8所得的余数为1 D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = 18$

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14、等差数列的特点是每一项与前一项之差相等．如果数列 $\{a_{n}\}$ 不是等差数列，但每一项与前一项之差构成等差数列，即 $\{a_{n} - a_{n - 1}\}$ 是等差数列，则 $\{a_{n}\}$ 叫作二阶等差数列．与前述类似，若 $\{a_{n} - a_{n - 1}\}$ 是二阶等差数列，则 $\{a_{n}\}$ 叫作三阶等差数列．如此可以对更大的整数 $m$ 归纳地定义 $m$ 阶等差数列．高阶等差数列的研究，始于北宋科学家沈括《梦溪笔谈》中的隙积术，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中明确地推得一些对高阶等差数列求和公式，元代数学家朱世杰将此类问题进一步推广．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列，其前5项分别为2，3，5，8，12．
①求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
②求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = n$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，若将数列 $\{T_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}^{(2)}$ ，数列 $\{T_{n}^{(2)}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}^{(3)}, \dots \dots$ 依次类推．
①求 $T_{n}^{(3)}$ ；
②求 $T_{n}^{(m)}$ （只写出结果）．
参考数据： $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$ ．

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15、已知拋物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, Γ$ 上任意一点 $P$ 到 $F$ 的距离与到点 $E (2, 0)$ 的距离之和的最小值为3．

(1)、求拋物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、已知过点 $E$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ 与 $Γ$ 分别交于点 $A, C$ 与点 $B, D$ ，延长 $A B, D C$ 交于点 $Q$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 的中点分别为 $M, N$ ．
①证明：点 $Q$ 在定直线上；
②若直线 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，直线 $O M, O N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的取值范围．

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16、设函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1 (a \in R)$ ，函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ．

(1)、求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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17、某学校有 $A, B$ 两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐．如果第一天去 $A$ 餐厅，那么第二天去 $A$ 餐厅的概率为0.4；如果第一天去 $B$ 餐厅，那么第二天去 $A$ 餐厅的概率为0.8．

(1)、求王同学第二天去 $A$ 餐厅用餐的概率；

(2)、王同学某次在 $A$ 餐厅就餐，该餐厅提供4种西式点心，2种中式点心，王同学从这些点心中随机选择3种点心，记选择西式点心的种数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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18、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C, ∠ A B C = \frac{π}{2}, A B = B C = 2 A D = 2, E, F, G$ 分别为边 $A B$ ， $C D, B C$ 的中点，沿 $E F$ 将梯形 $A B C D$ 翻折，使平面 $A E F D ⊥$ 平面 $E B C F$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ E G$ ；

(2)、求 $B D$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值．

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19、圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点 $F_{1}$ 发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点 $F_{2}$ ．如图甲，椭圆 $C$ 为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线 $l^{'}$ 表示与椭圆 $C$ 的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0) (c > 0)$ ．由 $F_{1}$ 发出的光经椭圆两次反射后回到 $F_{1}$ 经过的路程为 $4 \sqrt{2} c$ ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
（1）椭圆 $C$ 的离心率为．
（2）点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，椭圆在点 $P$ 处的切线为 $l . F_{2}$ 在 $l$ 上的射影 $H$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，则椭圆 $C$ 的方程为．

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20、已知直线 $y = x - 2$ 与曲线 $y = ln (x + a)$ 相切，则 $a$ 的值为．

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