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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 为.

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2、已知平面直角坐标系中，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 8$ ，点 $P (- 4, 2)$ ，

(1)、若 $A$ 是圆 $O$ 上的动点，线段 $A P$ 的中点为 $M$ ，求 $M$ 的轨迹方程；

(2)、以 $O P$ 为直径的圆交圆 $O$ 于 $C$ ， $D$ 两点，求 $|C D|$ .

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰三角形， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ， $A C = B C = A A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别是棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成的角的正弦值.

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4、在平面直角坐标系中，已知圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 x = 1$ ，直线 $l : 2 x - y - 3 = 0$ ，过 $l$ 上一点 $P$ 作圆 $M$ 的切线，切点为A，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P M}$ 的最小值为.

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5、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知 $A (1, 2, - 1)$ ， $B (0, 1, 1)$ ，下列结论正确的有（）

A、 $| \vec{A B} | = 4$ B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 1$ C、若 $\vec{n} = (4, 2, t)$ ，且 $\vec{n} ⊥ \vec{A B}$ ，则 $t = 3$ D、若 $\vec{m} = (1, 1, k)$ 且 $\vec{m} / / \vec{A B}$ ，则 $k = 2$

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6、已知正三角形 $A B C$ 的边长为1， $D$ 在平面 $A B C$ 内，若向量 $\vec{A D}$ 满足 ${\vec{A D}}^{2} - 4 \vec{A D} \cdot \vec{A B} + 3 = 0$ ，则 $| \vec{C D} |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、2 D、3

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7、已知点 $Q (1, 2, 3)$ ，平面 $α = {P | \vec{n} \cdot \vec{P Q} = 0}$ ，其中 $\vec{n} = (2, - 1, 2)$ ，则点 $A (- 1, 0, 1)$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、2 D、3

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8、已知 $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，且直线 $l ⊥ α$ ，则“ $α ⊥ β$ ”是“ $l // β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、解关于x的不等式．

(1)、 $x^{2} + a x + 1 < 0$ （ $a \in R$ ）；

(2)、 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 < 0$ ．

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10、已知集合 $A = \{x ∣ a x^{2} - (a + 1) x + 1 > 0, a < 1\}, B = \{x ∣ x > 0\}$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、求 $A \cap B$ .

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11、设函数 $y = - m x^{2} + m x - 1$ .

(1)、若命题： $\exists x \in R, y > 0$ 是假命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若存在 $0 < x < 4$ ，使得 $y \geq (- m + 1) x^{2} + 3$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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12、已知实数 $a, b$ 满足 $4 a + b - a b = 0$ ，且 $a b > 0$ ，若关于 $t$ 的不等式 $a + b \geq t^{2} + 5 t + 3$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是 .

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13、已知 $a > b > 0, b > c$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{b}{a^{2}} < \frac{a}{b^{2}}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ D、 $a + c > b - c$

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14、已知命题p：“∀x∈ $R$ ， (a＋1)x²－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（）

A、－1<a<2 B、a≥1 C、a<－1 D、－1≤a<2

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15、下列说法中正确的是（）

A、1与 $\{1\}$ 表示同一个集合 B、由1，2，3组成的集合可表示为 $\{1, 2, 3\}$ 或 $\{3, 2, 1\}$ C、方程 ${(x - 1)}^{2} (x - 2) = 0$ 的所有解的集合可表示为 $\{1, 1, 2\}$ D、集合 $\{x | 4 < x < 5\}$ 可以用列举法表示

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16、已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 5$ 在 $(- \infty, 2]$ 上单调递减，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4]$ D、 $(- \infty, 2]$

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17、已知 $\vec{n}$ 为平面 $α$ 的一个法向量， $\vec{a}$ 为直线 $l$ 的一个方向向量，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{n}$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知 $\frac{z}{i} = i - 1$ ，则 $|z| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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19、天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量 $a$ 万件与投入的促销费用 $x$ 万元 $(x \geq 0)$ 满足关系式 $a = 8 - \frac{k}{x + 1}$ （ $k$ 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为 $(36 + \frac{10}{a})$ 元，设该产品的利润为 $y$ 万元.（注：利润 $=$ 销售收入 $-$ 投入成本 $-$ 促销费用）

(1)、求出 $k$ 的值，并将 $y$ 表示为 $x$ 的函数；

(2)、促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？

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20、已知命题 $p : \exists x \in R$ ， $a x^{2} + 2 x + 3 \leq 0$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\{a |a > \frac{1}{3}\}$ B、 ${a | 0 < a < \frac{1}{3}}$ C、 ${a | a \geq \frac{1}{3}}$ D、 ${a | a \leq \frac{1}{3}}$

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