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相关试卷

1、过点 $P (2, 1)$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l$ ，则直线 $l$ 的方程为.（写出一条方程即可）

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2、已知正四面体 $S - A B C$ ，若平面 $A B C$ 内有一动点 $P$ 到平面 $S A B$ 、平面 $S B C$ 、平面 $S C A$ 的距离依次成等差数列，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、一条线段 B、一个点 C、一段圆弧 D、抛物线的一段

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3、如图所示， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点，点P在椭圆上， $△ P O F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，则 $b^{2}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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4、将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5、北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（）

A、2880 B、1440 C、720 D、576

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A D = P A = 4$ ， $A B = B C = 2$ ．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ．

(2)、若 $Q$ 为线段 $P C$ 的中点，求平面 $P A D$ 与平面 $Q A D$ 的夹角的余弦值．

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7、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A C$ 和 $B D$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列式子中与 $\vec{M B_{1}}$ 相等的是（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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8、歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与 11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（）

A、平均数 B、极差 C、方差 D、中位数

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9、在 ${(1 + k x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为80，则实数 $k$ 的值为.

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10、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的导函数，函数 $f (x)$ 在 $x ＝ - 2$ 处取得极小值，则函数 $y ＝ x f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11、将函数 $f (x) = sin x$ 图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数 $g (x) = sin (\frac{1}{2} x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图象，若点 $A (\frac{π}{3}, f (\frac{π}{3}))$ 被变换成了点 $A^{'} (x_{0}, y_{0})$ ，且 $sin x_{0} = \frac{1}{2}$ ，则 $φ$ 的所有可能值之和为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{12}$

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12、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别是线段 $A B$ ， $B C$ 的中点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，且 $D M = 1$ ， $D N = 2$ ， $∠ M D N = 60 °$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{D N}$ ；

(2)、①求 $|\vec{a}|$ ， $|\vec{b}|$ 的值；②设 $O$ 为 $△ A D M$ 的内心，若 $\vec{A O} = x \vec{a} + y \vec{b} (x, y \in R)$ ，求 $\frac{y}{x}$ 的值.

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足_______.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，条件①： $(b + c) (sin B + sin C) = a sin A + 3 b sin C$ ；条件②： $2 c - b = 2 a cos B$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $16 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 的最小值.

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14、若向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的一个单位向量 $\vec{b} =$ .

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15、如图所示，在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A D ∥ B C$ ， $A D = A B = \frac{1}{2} B C = 1$ ，将 $△ A B D$ 沿直线 $B D$ 翻折成 $△ A^{'} B D$ ，则（）

A、翻折过程中存在某个位置，使得 $A^{'} C ⊥ B D$ B、当二面角 $A^{'} - B D - C$ 为 $150 °$ 时，点 $C$ 到平面 $A^{'} B D$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ C、直线 $A^{'} B$ 与 $C D$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ D、当三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的体积最大时，以 $A^{'} C$ 为直径的球被平面 $A^{'} B D$ 所截的截面面积为 $\frac{π}{4}$

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16、对于任意的两个平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，下列关系式恒成立的是（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ B、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| \geq |\vec{a} - \vec{b}|$ D、 ${|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} \geq |\vec{a} \cdot \vec{b}|$

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17、如图所示，在坡度一定的山坡 $A$ 处测得山顶上一建筑物 $C D$ 的顶端 $C$ 对于山坡的斜度为 $15 °$ ，向山顶前进100m到达 $B$ 处，又测得 $C$ 对于山坡的斜度为 $45 °$ ，若 $C D = 50 m$ ， $\sin 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ，且山坡对于地平面的坡度为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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18、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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19、若向量 $\overset{⃑}{a}$ =(1，2)， $\overset{⃑}{b}$ =(2，3)，则与 $\overset{⃑}{a}$ + $\overset{⃑}{b}$ 共线的向量可以是（）

A、(2，1) B、(6，10) C、(－1，2) D、(－6，10)

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20、设 $A, B$ 是单位圆上不同的两个定点，点 $O$ 为圆心，点 $C$ 是单位圆上的动点，点 $C$ 满足 $\vec{O C} = sin α \vec{O B} + cos α \vec{O A}$ （ $α$ 为锐角）线段 $O C$ 交 $A B$ 于点 $D$ （不包括 $A, B$ ），点 $P$ 在射线 $O C$ 上运动且在圆外，过 $P$ 作圆的两条切线 $P M, P N$ ， $M, N$ 为切点.

(1)、证明： $\vec{O B} ⊥ \vec{O A}$ ，并求 $\vec{O B} \cdot \vec{B A} + \vec{C O} \cdot \vec{C A} + \vec{B C} \cdot \vec{B O}$ 的取值范围；

(2)、求 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{O D} = λ \vec{O C}, \vec{B D} = μ \vec{B A}$ ，求 $\frac{λ^{2}}{μ + 1}$ 的最小值.

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