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相关试卷

1、 $n$ 维空间是一个多维空间，其中包含了 $n$ 个维度，若建立 $n$ 维坐标（ $n ⩾ 1, n \in$ $N)$ ，则 $n$ 维空间中任意一点的坐标可表示为 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) (x_{n} \in R)$ ，当任意的 $x_{i} \in$ ${0, 1} (1 ⩽ i ⩽ n, i \in N)$ 时，称 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 为 $n$ 维“单位体”的顶点坐标，对应的点称为 $n$ 维“单位体”的顶点.

(1)、求4维“单位体”的顶点个数.

(2)、定义：在 $n$ 维空间中两点 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 与 $(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ 的J氏距离为 $\frac{1}{n} (∣ x_{1} -$ ${y_{1}|}^{2}$ $+ {|x_{2} - y_{2}|}^{2}$ $+ \dots + {|x_{n} - y_{n}|}^{2})$ .在3维“单位体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 $X$ 为所取两点间的J氏距离，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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2、已知两定点 $A_{1} (0, \sqrt{3}), A (0, - \sqrt{3})$ ，动点 $P$ 满足直线 $P A_{1}$ 与直线PA的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程，并指出方程表示的曲线 $C$ 的形状；

(2)、过点 $A_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 相交于点 $Q$ ，且 $A A_{1} = A Q$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(3)、若斜率为 $k$ 的直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点M，N，且 $A N = A M$ ，求 $k$ 的取值范围.

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3、在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $∠ B C D = 90^{°}, B C = 3, C D = 2, E D / / B C, D E = 2, A C$ $= 2 \sqrt{3}$ ，且 $A C ⊥$ 平面BCDE.

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面ACD.

(2)、在线段DA（不含端点）上是否存在点 $M$ ，使平面BEM与平面BEA所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ？若存在，求出DM的长度；若不存在，请说明理由.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为公比的等比数列，且 $S_{3} = 2 a_{3} - 2$ .

(1)、解不等式： $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} > 100$ .

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 中，定义：使 $\frac{1}{16} a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}$ 为整数的数 $k (k \in N^{*})$ 叫做期盼数.求区间[1，100]内的所有期盼数的和.

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5、已知函数 $f (x) = a (x - 2) e^{x}$ （其中 $a > 0, e$ 为自然对数的底数）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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6、已知 $A + B = \frac{3 π}{4}$ ，则 $\frac{\sin (A + B) - \cos (A - B)}{\cos A \cos B} =$ .

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7、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，若点 $F$ 为双曲线 $C$ 的左焦点，则点 $F$ 到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离为.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x - 1, x ⩽ 0 \\ \lg x, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (a) + f (\frac{1}{10}) = 0$ ，则实数 $a =$ .

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9、若函数 $f (x) = x | \ln | x | |$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的极大值为 $\frac{1}{e}$ D、函数 $f (x)$ 有且仅有两个零点

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10、如图，在四边形ABCD中， $A B = 1, ∠ D = \frac{π}{2}, ∠ A C B = ∠ A C D$ ，且 $△ A C D$ 的外接圆面积 $S_{1}$ 与 $△ A C D$ 的面积 $S_{2}$ 满足 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = π$ ，则（）

A、 $B C \cos B + A C \cos ∠ B A C = 1$ B、 $∠ A C D = \frac{π}{4}$ C、 $△ A B C$ 外接圆面积为 $π$ D、 $S_{△ A B C}$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$

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11、随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, 4)$ ，若 $P (X < 2 a - 3) = P (X > a + 2)$ ，则（）
（若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (X < μ + σ) \approx 0.8413$ ）

A、 $D (X) = 2$ B、 $a = \frac{7}{3}$ C、 $P (X > 1) > 0.5$ D、 $P (X < 1) > 0.2$

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R,$ $f (x)$ 为偶函数， $f (x + 1)$ 为奇函数，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = x + b$ ，则 $f (\frac{1}{2}) + f (\frac{3}{2}) + f (\frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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13、将函数 $g (x) = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象，则函数 $f (x)$ 的（）

A、最大值为 $3$ B、最小值为 $- 1$ C、一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ D、一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$

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14、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ，过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $P, Q$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $S_{△ O P F} = 1$ ，则 $| P Q | =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、8

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15、如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是 $B C ， C D$ 的中点，若 $\vec{A C} = λ \vec{A M} + μ \vec{A N}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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16、已知圆锥的轴截面是一个边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，则圆锥的体积为（）

A、 $9 π$ B、 $3 π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$

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17、已知复数 $z = \frac{4}{3 + 4 i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{9}{16}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{4}{5}$

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18、若集合 $S = \{x |\frac{2}{x} \geq 1, x \in R\}, T = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $S \cap T =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${0, 1, 2}$

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19、 $x {(1 - x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、2 B、6 C、4 D、-4

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为14，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 5 (n \in N_{+})$ ，则 $\frac{a_{n}}{n}$ 的最小值为.

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