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相关试卷

1、已知 $a > 0, b > 0, 且 a + b = 4,$ 则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 8$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq \frac{9}{4}$

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2、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 经过 $F_{2}$ ，且与C交于A，B两点，若 $\vec{A F_{2}} = \frac{1}{3} \vec{F_{2} B}$ ， $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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3、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 和 $△ P B C$ 均是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，若 $P B ⊥ A B$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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4、牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为 $T_{0}$ ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 $T - T_{c} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{c})$ ，其中 $T_{c}$ 是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ ）

A、2.9 B、3.4 C、3.9 D、4.4

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5、已知 $△ A B C$ 是边长为1的正三角形， $E$ 为 $B C$ 中点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、下列说法不正确的是（）

A、对具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，且回归方程为 $y = 0.3 x - m$ ，若样本点的中心为 $(- 4, m)$ ，则实数 $m$ 的值是 $- 0.6$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 2) = 0.7$ ，则 $P (1 < X \leq 2) = 0.2$ C、若线性相关系数 $|r|$ 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D、一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19

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7、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x + a}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $2 x - y = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 7$ ， $S_{9} = 90$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、20 B、18 C、16 D、15

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9、已知函数 $f (x) = a x + \ln x, g (x) = f (x) (x - \ln x) - x^{2}, a \in R$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $a \in Z$ ，且函数 $g (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的最小值.

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10、在 $△ A B C$ 中，点 $C$ 的坐标为 $(4, - 1)$ ， $B C$ 边上的中线所在直线的方程为 $3 x - y - 1 = 0$ ，直线 $A C$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴的正半轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ M O N$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最小值．

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11、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的部分图象如图示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的不等式 ${(\frac{1}{a})}^{x} + {(- 2 b)}^{x} - m \leq 0$ 在 $[1, + \infty)$ 上有解，求实数m的取值范围．

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12、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 3$ ， $B C = A B = 4$ ，设该阳马的外接球半径为 $R$ ，内切球半径为 $r$ ，则 $\frac{R}{r} =$ ．

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13、若函数 $f (x) = \ln x + x - 3$ 的零点在区间 $(k, k + 1)$ ， $k \in Z$ 内，则 $k =$ ．

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14、已知集合 $A = \{1,3, 6\}, B = \{x |1 < x < 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 7)$ B、 $(3, 6)$ C、 $\{1, 7\}$ D、 $\{3, 6\}$

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15、甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件 $A$ ， “甲不站在两端”为事件 $B$ ，则 $P (B ∣ A) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、设 $n \in N^{*}$ ，对任意 $x \in R$ ， $x f_{n}^{'} (x) = (1 - n x) f_{n} (x)$ 成立，则该函数 $f_{n} (x)$ 称为“ $n$ 级函数”，其中 $f_{n}^{'} (x)$ 为函数 $f_{n} (x)$ 的导数．

(1)、判断函数 $y = x e^{k x}$ 和 $y = \frac{x}{e^{k x}}$ ，是否为“ $k$ 级函数”，并说明理由；

(2)、记（1）中的“ $k$ 级函数”为 $g_{k} (x)$ ．
①若 $\exists α, β \in R$ ， $α \neq β$ ，使得 $g_{1} (α) = g_{1} (β)$ ，证明： $α + β > 2$ ；
②若 $\forall x \in (- \frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2} \ln 2)$ ， $g_{2} (x) > \frac{\ln (x + a)}{2 (x + a)}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下：
日期
5月1日
5月2日
5月3日
5月4日
5月5日
第 $x$ 天
1
2
3
4
5
参观人数 $y$
2.2
2.6
3.1
5.2
6.9

(1)、根据上表数据，判断成对样本数据 $(x y)$ 的线性相关程度，请用样本相关系数 $r$ 加以说明；（若 $| r | > 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性很强），如果 $y$ 与 $x$ 的线性相关性很强，那么求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为 $\frac{111}{263}$ ，且出景区与入景区选择相同门的概率为 $\frac{2}{3}$ ，选择与入景区不同两门的概率各为 $\frac{1}{6}$ ．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设 $X$ 为4人中从东门出景区的人数，求 $X$ 的分布列、期望及方差．
附：参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 72$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ， $\bar{y} = 4$ ， $\sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 95.86$ ， $\sqrt{158.6} \approx 12.59$ ．
参考公式：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$ ．

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18、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，如果 $\forall x \in D$ ，都有 $f (a + x) + f (a - x) = 2 b$ 恒成立，那么 $f (x)$ 的图象关于 $(a, b)$ 对称．已知 $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x - \frac{2}{27} a^{3}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 3$ 时，
①证明：函数 $f (x)$ 图象关于 $(2, 0)$ 对称；
②求 $f (\frac{1}{10}) + f (\frac{2}{10}) + \dots + f (\frac{39}{10})$ 的值．

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19、为调查学生喜欢在食堂就餐是否和性别有关，学校随机调研了男女生各100人，经统计得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

男
女
喜欢
80
40
不喜欢
20
60

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断学生喜欢在食堂就餐是否与性别有关？

(2)、为听取学生对食堂的建议，从学生中抽取9人召开座谈会，并给其中3名同学赠送礼品，每人1份（其余人员仅赠送餐券）．已知参加座谈会的学生中有且只有4名学生来自高一，求高一这4名学生中得到礼品的人数 $X$ 的分布列和数学期望．
$α$
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
6.635
7.879
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $(n = a + b + c + d)$

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2, A D = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求平面 $A B C D$ 与平面 $A P M$ 夹角的余弦值．

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日期	5月1日	5月2日	5月3日	5月4日	5月5日
第 $x$ 天	1	2	3	4	5
参观人数 $y$	2.2	2.6	3.1	5.2	6.9

	男	女
喜欢	80	40
不喜欢	20	60

$α$	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	6.635	7.879	10.828