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相关试卷

1、 $(x - 1) {(x + 1)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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2、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 2, B C = \sqrt{3}, A A_{1} = 1, P$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $Q$ 为底面 $A B C D$ 上（含边界）的一动点.记点 $Q$ 轨迹的长度为 $L$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $P Q ⊥ B_{1} C$ ，则 $L = 2$ B、若 $P Q$ $∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ，则 $L = \frac{\sqrt{5}}{2}$ C、若 $P Q = \sqrt{2}$ ，则 $L = π$ D、若 $C$ 到平面 $A_{1} P Q$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $L = 2$

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3、已知函数 $f (x) = sin x + |cos 2 x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的最小值是 $- 2$ C、存在唯一实数 $a \in (0, 2)$ ，使得 $f (x + a)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有3个极大值点

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ ：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（）

A、 $a_{20} = 21$ B、 $a_{\frac{n (n + 1)}{2}} = n^{2} - 2 n + 2$ C、存在正整数m，使得 $a_{m}$ ， $a_{m + 1}$ ， $a_{m + 2}$ 成等比数列 D、有且仅有4个不同的正整数m，使得 $a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} = 156$

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5、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (\frac{p}{4}, a) (a > 0)$ 在 $C$ 上， $| A F | = 3$ .若直线 $A F$ 与 $C$ 交于另一点 $B$ ，则 $| A B |$ 的值是

A、 $12$ B、 $10$ C、 $9$ D、 $4.5$

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6、在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $C D = 2$ ， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot (\overset{⇀}{A C} + \overset{⇀}{A E}) =$

A、 $8$ B、 $12$ C、 $16$ D、 $20$

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7、如图，在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若 $O_{1} O_{2} = 2$ ，则圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $7 π$

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8、马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上对 $2^{p} - 1$ 作了大量的计算､验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如 $2^{p} - 1$ (其中 $p$ 是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（）

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{9}{22}$ D、 $\frac{1}{22}$

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9、设集合 $A = \{x |3 < x < 6\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} - 4 x - 5 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |3 < x \leq 5\}$ B、 $\{x |3 < x < 5\}$ C、 $\{x |- 1 \leq x < 6\}$ D、 $\{x |- 1 < x \leq 5\}$

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = \sqrt{2} A D$ ，点 $E$ 为线段 $P B$ 上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（）

A、该四棱锥的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、一定存在点 $E$ ，使 $A E //$ 平面 $P C D$ C、一定存在点 $E$ ，使 $P B ⊥$ 平面 $A C E$ D、 $A E + C E$ 的最小值为 $2$

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11、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.

(1)、求 $n (n \in N_{+})$ 次传球后球在甲手中的概率；

(2)、求 $n (n \in N_{+})$ 次传球后球在乙手中的概率；

(3)、已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ ，记前n次传球后（即从第1次传球到第 $n$ 次传球后）球在甲手中的次数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ .

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12、如图， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 所在平面垂直，且 $A B = B C = B D$ ， $∠ C B A = ∠ D B C = 120 °$ ，求：

(1)、直线 $A D$ 与平面 $B D C$ 所成角的大小；

(2)、平面 $A B D$ 和平面 $B D C$ 夹角的余弦值.

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13、已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是 $b (b \geq \frac{4}{3} a)$ 元/件时，可卖出c件，市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，为获得最大利润，售价应定为元/件.（用含a，b的式子表示）

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14、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x, y \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，则对于 $\forall x, y \in (0, + \infty)$ ， $n \in N^{*}$ ，下式成立的有（）

A、 $f (x + y) = f (x) f (y)$ B、 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y)$ C、 $f (x^{n}) = n f (x)$ D、 $f (\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} f (x)$

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15、设随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，记 $p_{k} = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ ， $k = 0, 1, 2, \dots, n$ ，下列说法正确的是（）

A、当k由0增大到n时， $p_{k}$ 先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当 $p = 0.5$ 时是对称的，当 $p < 0.5$ 时向右偏倚，当 $p > 0.5$ 时向左偏倚 B、如果 $(n + 1) p$ 为正整数，当且仅当 $k = (n + 1) p$ 时， $p_{k}$ 取最大值 C、如果 $(n + 1) p$ 为非整数，当且仅当k取 $(n + 1) p$ 的整数部分时， $p_{k}$ 取最大值 D、 $E (X) = n p (1 - p)$

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16、 ${(1 - 2 x)}^{8}$ 展开式中第4项的二项式系数为（）

A、 $- 448$ B、1120 C、56 D、70

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17、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 4 x + a ln x (a \in R)$ 有两个极值点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 10 > ln a$ .

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18、 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{n} > 0, a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n} + 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19、2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为.

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20、为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有种．

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