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相关试卷

1、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则下列说法正确的是（）

A、直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ B、四面体 $B D C_{1} A_{1}$ 的体积是 $\frac{8}{3}$ C、点 $A_{1}$ 到平面 $B D C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、平面 $B D A_{1}$ 与平面 $B D C_{1}$ 夹角的正弦值为 $\frac{1}{3}$

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2、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则“ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ”是“向量 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知矩形 $A B C D$ 的长为2，宽为1.（如图所示）

(1)、若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面 $C^{'} B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，分别求 $C^{'}$ 到AB和AD的距离.

(2)、在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将 $△ A M N$ 翻折成 $△ A^{'} M N$ ，使平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $A B C D$ .又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形 $G H C B$ 向上翻折，使C与 $A^{'}$ 重合，求线段NG的长.

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4、已知 $\frac{1 - \cos θ}{\sin θ} = 2$ ，则 $\tan θ$ 等于（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、如图①所示，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，点M是边CD的中点，将 $△ A D M$ 沿AM翻折到 $△ P A M$ ，连接PB，PC，得到图②的四棱锥 $P - A B C M$ ， N为PB中点．

(1)、求证： $N C / /$ 平面 $P A M$ ；

(2)、若平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线BC与平面 $P M B$ 所成角的大小；

(3)、设 $P - A M - D$ 的大小为θ，若 $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ ，求平面 $P A M$ 和平面 $P B C$ 夹角余弦值的最小值．

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6、若函数 $f (x)$ 满足：对任意正数 $s, t$ ，都有 $f (s) + f (t) < f (s + t)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“H函数”．

(1)、试判断函数 $f_{1} (x) = x^{2}$ 与 $f_{2} (x) = ln (x + 1)$ 是否为“H函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $y = 3^{x} + x - 3 a$ 是“H函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 为“H函数”， $f (1) = 1$ ，对任意正数s、t，都有 $f (s) > 0$ ， $f (t) > 0$ ，证明：对任意 $x \in (2^{k}, 2^{k + 1}) (k \in N)$ ，都有 $f (x) - f (\frac{1}{x}) > \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$ ．

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7、象棋是中国棋文化之一，也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，雅俗共赏.某地举办象棋比赛，规定：每一局比赛中胜方得1分，负方得0分，没有平局.

(1)、若甲、乙两名选手进行象棋比赛冠亚军的激烈角逐，每局比赛甲获胜的概率是 $\frac{3}{5}$ ，乙获胜的概率是 $\frac{2}{5}$ ，先得3分者夺冠，比赛结束.
(i)求比赛结束时，恰好进行了3局的概率；
(ii)若前两局甲、乙各胜一局，记 $X$ 表示到比赛结束还需要进行的局数，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、统计发现，本赛季参赛选手总得分 $Y$ 近似地服从正态分布 $N (12.16, 9)$ .若 $μ - σ \leq Y \leq μ + 2 σ$ ，则参赛选手可获得“参赛纪念证书”；若 $Y > μ +$ $2 σ$ ，则参赛选手可获得“优秀参赛选手证书”.若共有200名选手参加本次比赛，试估计获得“参赛纪念证书”的选手人数.(结果保留整数)
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + 3^{n - 1} a_{n} = n \cdot 3^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、对任意 $m \in N^{*}$ ．将数列 $\{a_{n}\}$ 中落入区间 $(2^{m}, 2^{2 m})$ 内的项的个数记为 $b_{m}$ ，求数列 $\{b_{m}\}$ 的前m项和 $T_{m}$ ．

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9、已知函数 $f (x) = 2 (x - 1) e^{x}$ .
（1）若函数 $f (x)$ 在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增，求 $f (a)$ 的取值范围；
（2）设函数 $g (x) = e^{x} - x + p$ ，若存在 $x_{0} \in [1, e]$ ，使不等式 $g (x_{0}) \geq f (x_{0}) - x_{0}$ 成立，求实数 $p$ 的取值范围.

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10、如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $\overset{⃑}{A E} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{D F} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{F C}$ ，若 $\overset{⃑}{A F} = λ \overset{⃑}{A C} + μ \overset{⃑}{D E}$ ，则 $λ - μ$ 的值为．

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11、如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $F$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、若点 $P$ 满足 $A P ⊥ B_{1} C$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为 $4 \sqrt{2}$ B、三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{16}{3}$ C、当直线 $A P$ 与 $A B$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$ D、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，线段 $P F$ 长度最大值为 $2 \sqrt{2}$

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 1$ ， $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x)$ 有最小值 C、 $f (2024) = 2023$ D、 $f (x) + 1$ 是奇函数

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13、定义运算 $|\begin{matrix} m p \\ q n \end{matrix}| = m n - p q$ ．在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足 $|\begin{matrix} a + b + c 3 \\ a + c - b 1 \end{matrix}| = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\sin A + \sin C = 2 \sin B$ B、 $A : C = 1 : 2$ C、角B的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、若 $a \sin A = 4 c \sin C$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} + \lg (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ ，若当 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (t \sin^{2} θ) + f (4 t - \sin θ) > 0$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{5})$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{5}, + \infty)$

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15、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l$ 过点 $F_{1}$ ，若点 $F_{2}$ 关于 $l$ 的对称点 $P$ 恰好在椭圆 $C$ 上，且 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = b^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{17} - 2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{13} - 2}{3}$

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16、党的二十大报告提出：“深化全民阅读活动.”今天，我们思索读书的意义、发掘知识的价值、强调阅读的作用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待.某市把图书馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理.现有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 共5名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则 $A$ 、 $B$ 两名志愿者不在同一个场馆的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{9}{10}$

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17、在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 $\lg P$ 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 $bar$ ．下列结论中正确的是（）

A、当 $T = 220$ ， $P = 1026$ 时，二氧化碳处于液态 B、当 $T = 270$ ， $P = 128$ 时，二氧化碳处于气态 C、当 $T = 300$ ， $P = 9987$ 时，二氧化碳处于超临界状态 D、当 $T = 360$ ， $P = 729$ 时，二氧化碳处于超临界状态

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18、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 中的元素都是正整数，且 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ．若对任意 $x, y \in A$ ，且 $x \neq y$ ，都有 $| x - y | \geq \frac{x y}{25}$ 成立，则称集合A具有性质 $M$ ．

(1)、判断集合 ${1, 2, 3, 4}$ 是否具有性质 $M$ ；

(2)、已知集合A具有性质 $M$ ，求证： $\frac{1}{a_{i}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{n - i}{25} (i = 1, 2, \dots, n)$ ；

(3)、证明： $\sqrt{3}$ 是无理数．

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19、（1）已知不等式 $(1 + k^{2}) x \leq k^{4} + k^{2} + 6$ ，其中 $x, k \in R$ ．
①若 $x = 4$ ，解上述关于 $k$ 的不等式；
②若不等式对任意 $k \in R$ 恒成立，求 $x$ 的最大值．
（2）求关于 $x$ 不等式： $a x^{2} - (a + 2) x + 2 \geq 0$ （ $a \in R$ ）的解集.

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20、小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件时，该产品需另投入流动成本 $W (x)$ 万元．在年产量不足8万件时， $W (x) = \frac{1}{3} x^{2} + x$ ，在年产量不小于8万件时， $W (x) = 6 x + \frac{100}{x} - 38$ ．每件产品的售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完，设年利润为 $L (x)$ （单位：万元）．
（1）若年利润 $L (x)$ （单位：万元）不小于6万元，求年产量x（单位：万件）的范围．
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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