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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $m$ ， $n$ ， $s$ ， $t \in N_{+}$ ，设 $p : m + n = s + t$ ， $q : a_{m} + a_{n} = a_{s} + a_{t}$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + λ = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $λ$ 的取值范围为 $(- \infty, 1]$ B、圆 $C$ 关于直线 $x + y = 0$ 对称 C、若直线 $x + y + 1 = 0$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ ，则 $λ = 2$ D、若 $λ = 1$ ，过点 $A (0, 1)$ 作圆 $C$ 的一条切线，切点为 $B$ ，则 $|A B| = 2$

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3、已知变量 $x, y$ 线性相关，其一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 9)$ ，满足 $\sum_{i = 1}^{9} x_{i} = 33$ ，用最小二乘法得到的经验回归方程为 $y = 2 x - 1$ .若增加一个数据 $(- 3, 3)$ 后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据 $(4, 8)$ 的残差的绝对值为（）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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4、已知向量 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ；

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ．

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5、甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 和 $p$ ，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，
（i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
（ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.

(2)、若 $\frac{1}{2} \leq p \leq \frac{2}{3}$ ，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为2的等比数列， $a_{3}, a_{4}, a_{5} - 8$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{\log_{2} a_{n}}{a_{n}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 2$ ．

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7、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = A B = A A_{1}$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $N$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、证明：直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C_{1} N$ .

(2)、求平面 $B C_{1} N$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值．

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8、我们称 $n$ （ $n$ 为正整数）元有序实数组 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 为 $n$ 维向量， $|x_{1}| + |x_{2}| + \dots + |x_{n}|$ 为该向量的范数.已知 $n$ 维向量 $\vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，其中 $x_{i} \in \{- 1, 0, 1\} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记范数为奇数的 $\vec{a}$ 的个数为 $A_{n}$ ，则 $A_{9} =$

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9、假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占 $60 %$ ，乙厂产品占 $40 %$ ，甲厂产品的合格率是 $90 %$ ，乙厂产品的合格率是 $80 %$ .在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为．

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10、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $\sin α =$ .

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11、已知无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{2024} < S_{2025}$ 且 $S_{2025} > S_{2026}$ ，则（）

A、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}$ 最大 B、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2025}$ 最大 C、 $a_{2026} > 0$ D、当 $n \geq 2026$ 时， $a_{n} < 0$

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12、甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A、如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 B、如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 C、如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 D、如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种

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13、有甲、乙两个盒子，甲盒子里有 $1$ 个红球，乙盒子里有 $3$ 个红球和 $3$ 个黑球，现从乙盒子里随机取出 $n (1 \leq n \leq 6, n \in N^{*})$ 个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 $ξ$ 个，则随着 $n (1 \leq n \leq 6, n \in N^{*})$ 的增加，下列说法正确的是（）

A、 $E ξ$ 增加， $D ξ$ 增加 B、 $E ξ$ 增加， $D ξ$ 减小 C、 $E ξ$ 减小， $D ξ$ 增加 D、 $E ξ$ 减小， $D ξ$ 减小

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14、直线 $y = k x + 3$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相交的充分不必要条件可以是（）

A、 $k^{2} > 3$ B、 $k^{2} < 3$ C、 $k > 2$ D、 $k > 1$

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15、函数 $f (x) = (x + 1) e^{2 x}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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16、球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（）

A、9倍 B、18倍 C、27倍 D、81倍

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17、 $A_{5}^{2} + C_{4}^{2} =$ （）

A、24 B、26 C、30 D、32

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点 $A$ 到其渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．点 $B (2, 1)$ 在 $C$ 的渐近线上，过 $B$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 分别与 $y$ 轴交于 $M, N$ 两点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $△ A P Q$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $l$ 的方程；

(3)、证明：线段 $M N$ 的中点为定点．

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19、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x f^{'} (\frac{π}{6}) + sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ .

(1)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} - 1$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ；

(3)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2025$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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