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相关试卷

1、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点，满足 $D E ∥ B C$ 且 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，如图所示.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求 $C M$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的大小；

(3)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $N$ ，使平面 $C B M$ 与平面 $B M N$ 成角余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ？若存在，求出 $C N$ 的长度；若不存在，请说明理由.

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2、伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（）．

A、若 $n = 2$ ，则M与N不互斥 B、若 $n = 2$ ，则M与N相互独立 C、若 $n = 3$ ，则M与N互斥 D、若 $n = 3$ ，则M与N相互独立

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3、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且该函数的图象经过点 $(2, - 3)$ ，在x轴上截得的线段长为4，设 $g (x) = f (x) - a x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最小值；

(3)、设函数 $h (x) = 9^{x} - 3^{x + 1} - 2$ ，若对于任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 2]$ ，使得 $h (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，求a的取值范围.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为 $45^{°}$ ，底面ABCD为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = 90^{°}, A D = 2, P A = B C = 1$ .

(1)、求PB与平面PCD所成角的正弦值；

(2)、求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值；

(3)、N为AD中点，线段PC上是否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为 $\frac{1}{3}$ .

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5、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最值，并求出此时对应的 $x$ 的值；

(3)、若 $g (x) = f (x) + m$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，直接写出 $m$ 的取值范围．

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6、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $a_{4} + a_{5} = 24$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．
条件①：设 $b_{n} = \log_{2} a_{2 n - 1}$ ；
条件②：设 $b_{n} = a_{n} + 2 n$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} + a, x < a \\ x^{2} + 2 a x, x \geq a \end{array}$ 给出下列四个结论：
①当 $a = - \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 存在最小值；
②当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 存在唯一的零点；
③ $f (x)$ 的零点个数为 $g (a)$ ，则函数 $g (a)$ 的值域为 $\{0, 1, 2, 3\}$ ；
④当 $a \geq 1$ 时，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $f (x_{1}) + f (x_{2}) \geq 2 f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ .
其中所有正确结论的序号是.

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8、设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$
①给出一个 $ω$ 的值，使得 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 后得到的函数 $g (x)$ 的图像关于原点对称， $ω =$ ；
②若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上有且仅有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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9、数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $- 2$ 的等差数列，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，则 $a_{1} =$ ； $S_{n} =$ .

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10、函数 $f (x) = \frac{lg (3 x + 1)}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域是．

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11、把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度是 $θ_{0} ℃$ ．那么 $t min$ 后物体的温 $θ$ （单位：℃）可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却， $1 min$ 以后物体的温度是38℃，则k的值约为 $(\ln 3 \approx 1.10, \ln 7 \approx 1.95)$ （）

A、0.25 B、 $- 0.25$ C、0.89 D、 $- 0.89$

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12、设 $a = {log}_{3} 0.4, b = {log}_{4} 3, c = 3^{0.4}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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13、下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 单调递增的函数是（）

A、 $y = \ln x$ B、 $y = 3^{- |x|}$ C、 $y = - x^{2} + 1$ D、 $y = |x| + 1$

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14、设复数z满足 $(2 - i) z = 2 + i$ ，则z在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、已知集合 $A = {x \in Z | (x + 2) (x - 1) < 0}$ ， $B = \{- 2, - 1\}$ ，那么 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{- 2, - 1\}$ D、 $\{- 1\}$

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16、已知直线 $l : 3 x - 2 y + 2 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的倾斜角是钝角 B、 $l$ 的一个方向向量为 $(2, 3)$ C、点 $(1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、 $l$ 与直线 $m : x - y - 1 = 0$ 垂直

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17、若 $(2 + i) \cdot z = 1 - i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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18、已知三棱锥 $P - A B C, P A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, P A = A B = 2 B C$ ，则异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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19、棱长为 $a$ 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（）

A、 $\frac{3}{4} π a^{2}$ B、 $3 π a^{2}$ C、 $6 π a^{2}$ D、 $12 π a^{2}$

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20、已知空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (1, 3, 2)$ 关于坐标原点的对称点为 $P_{1}$ ，则 $|P P_{1}| =$ （）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $2 \sqrt{14}$ C、 $14$ D、 $56$

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