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相关试卷

1、已知以点 $C (t, \frac{2}{t}) (t > 0)$ 为圆心的圆经过原点 $O$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求证： $△ A O B$ 的面积为定值．

(2)、设直线 $2 x + y - 4 = 0$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|O M| = |O N|$ ，求圆 $C$ 的方程．

(3)、在（2）的条件下，设 $P$ ， $Q$ 分别是直线 $l : x + y + 2 = 0$ 和圆 $C$ 上的动点，求 $|P B| + |P Q|$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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2、如图， $E A$ 和 $D C$ 都垂直于平面 $A B C$ ，且 $E A = 2 D C$ ， $F$ 是 $B E$ 的中点.

(1)、求证： $D F ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是正三角形，且 $E A = A B = 2$ ，求直线 $A D$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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3、已知函数 $f (x) = x + a e^{x - 1}$ ， $g (x) = x - a e^{- x} + 1 (a > 0)$ 的零点分别为 $m$ ， $n$ .

(1)、若 $a = e^{2}$ ，求 $m$ ；

(2)、是否存在 $a$ ，使 $m + n = 0$ ？说明理由；

(3)、若 $k \leq m + n < 0 (- 1 < k < 0)$ ，用含 $k$ 的代数式表示 $m - n$ 最大值.

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4、如图，在底面边长为2的菱形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P B = 2$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，设 $E$ 是棱 $P B$ 上一点，三棱锥 $E - A C D$ 的体积为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、证明： $P C ⊥ A B$ ；

(2)、求 $B E$ ；

(3)、求二面角 $E - C D - A$ 的正弦值.

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5、梅雨季节，杨梅上市，现有8筐杨梅，其中3筐是A种杨梅，5筐是B种杨梅，两种筐子完全相同.

(1)、从中抽取1筐，直接写出所抽为A种杨梅的概率；

(2)、从中无放回地抽取2筐，求所抽筐都是A种杨梅的概率；

(3)、从中无放回地抽取2筐，求所抽筐中至少有1筐是B种杨梅的概率.

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6、若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (- 1) = f (x) + f (x + 1) = 2$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ， $f (2023) + f (2024) + f (2025) =$ .

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7、上、下底面面积分别为1，4，高为3的圆台体积为.

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8、数据5，8，9，12，12，15的第75百分位数为.

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9、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则（）

A、 $A > \frac{π}{2}$ B、 $\sin C = \frac{\sqrt{15}}{16}$ C、 $2 B + 3 C = π$ D、 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = \sqrt{10}$

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10、现有 $A$ ， $B$ 两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球 $a$ ， $b$ ，再将两箱子混合后取出一个小球 $c$ ，事件 $M$ ：“小球 $a$ 为红色”，事件 $N$ ：“小球 $b$ 为白色”，事件 $P$ ：“小球 $c$ 为红色”，则下列说法错误的有（）

A、 $M$ 发生的概率为 $\frac{1}{3}$ B、 $M$ 与 $N$ 互斥 C、 $M$ 与 $N$ 相互独立 D、 $P$ 发生的概率为 $\frac{1}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = \log_{m} (x + m) (m > 1)$ 的定义域为 $(- 4, + \infty)$ ，则（）

A、 $m = 4$ B、 $f (- 2) = \frac{1}{2}$ C、3是 $f (x)$ 的零点 D、 $f (\frac{1}{x} + x) > f (2)$

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12、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均相等， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B$ ，则（）

A、 $A D_{1} / /$ 平面 $B C_{1} D$ B、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ C、 $B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ D、 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $B C_{1} D$

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13、在边长为2的正方体中，取3条棱的中点构成平面 $α$ ，平面 $α$ 截正方体的截面面积为 $S$ ，从剩余9条棱的中点在平面 $α$ 的投影为 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{9}$ ，记 $i, j, k \in \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, 12\}$ ，当 $S$ 最大时，则 $\vec{A_{i} A_{j}} \cdot \vec{A_{i} A_{k}}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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14、若存在 $x_{0} \in [0, \frac{π}{3}]$ ，使函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω \in Z^{+})$ 的图象关于 $A (x_{0}, 0)$ 对称，则 $ω$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中使用了两个问题：问题1：你父亲的公历生日日期是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟?调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有的50个白球和50个红球的袋子，这些小球除了颜色外完全相同.每个被调查者随机从袋中摸取一个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题1，摸到红球的学生如实回答问题2.已知在被调查的200人中，共有54人回答“是”，试估计这个地区中学生吸烟的百分比最接近（）

A、54% B、27% C、13.5% D、4%

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16、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = {(\frac{m}{n})}^{x}$ ，若对任意 $x_{1} < 0$ ， $x_{2} > 0$ ，均有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ 恒成立，则下列情形可能成立的是（）

A、 $n > m > 0$ B、 $n > 0 > m$ C、 $0 < n < m$ D、 $m < n < 0$

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17、在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 在 $B C$ 的延长线上， $C F = B C$ ，则异面直线 $A F$ 和 $D E$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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18、下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（）

A、该同学数学学科成绩一定下降 B、该同学政治学科成绩一定下降 C、该同学化学学科成绩可能下降 D、该同学语文学科成绩一定提升

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19、在空间中，有一平面 $α$ ，平面内有一直线 $l$ ，平面外有一点 $P$ ，下列说法正确的是（）

A、过点 $P$ 且与平面 $α$ 垂直的直线不止一条 B、过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线有且仅有一条 C、过点 $P$ 的直线 $l_{1}$ 与直线 $l$ 的夹角的余弦值有可能为 $- \frac{3}{5}$ D、过点 $P$ 的直线 $l_{1}$ 与平面 $α$ 的夹角的余弦值不可能为 $- \frac{3}{5}$

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20、已知 $a > 0$ ，则下列计算正确的是（）

A、 ${(\frac{2}{3})}^{a} \times {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{a}} = \frac{2}{3}$ B、 $a^{\frac{2}{3}} \times a^{\frac{1}{3}} = 0$ C、 $\frac{\ln a}{\log_{2} a} = \ln 2$ D、 $\log_{3} a + \log_{3} \frac{1}{a} = 1$

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