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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{1}{3}$ ，且点 $(1, \frac{8}{3})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M (0, \frac{1}{2}), F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左，右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点， $Q$ 是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，求 $|M Q|$ 的最大值.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，△ $P A D$ ， △ $P A B$ 均为等边三角形， $\cos ∠ B A D$ $= \frac{1}{4}$ ．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ．

(2)、若点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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3、如图，在多面体 $A B C D F E$ 中， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $F C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $△ F C D$ 为等腰直角三角形，且 $C F ⊥ D F$ ， $A D = C D = 2 A B = 2 A E$ ．

(1)、证明： $B F ∥$ 平面 $A D E$ ．

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $D E F$ 的夹角的余弦值．

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4、已知动点 $M$ 到点 $(6, 0)$ 的距离比它到直线 $x + 8 = 0$ 的距离小2，记动点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，若线段 $A B$ 的中点坐标为 $(4, - 2)$ ，求直线 $l$ 的方程.

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5、已知圆 $M$ 的圆心在直线 $y = 3 x + 1$ 上，且点 $A (1, 2)$ ， $B (- 1, 4)$ 在 $M$ 上.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 经过点 $C (0, 4)$ ，且 $l$ 与圆 $M$ 相交于D，E两点，求 $|D E|$ .

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6、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点 $A$ ， $B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (3, 1)$ ， $B (3, - 3)$ ， $P$ 是满足 $λ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为；若该阿氏圆在点 $P$ 处的切线与直线 $l : x + 2 y + 6 = 0$ 交于点 $Q$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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7、已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{6} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 在第一象限内的交点为 $P$ .若 $cos ∠ P F_{2} F_{1} = \frac{3}{5}$ ，则点 $O$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离为.

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8、在四面体 $O A B C$ 中，空间的一个点 $M$ 满足 $\vec{O M} = - \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + m \vec{O C}$ ，若 $M, A, B, C$ 四点共面，则 $m =$ .

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9、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 2 \sqrt{5}, A B = 2 \sqrt{2}, \vec{P E} = \frac{1}{2} \vec{P B}, \vec{P F} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ，则（）

A、 $|\vec{E F}| = \frac{\sqrt{29}}{3}$ B、异面直线 $A E, C F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{26}}{78}$ C、向量 $\vec{A E}$ 在向量 $\vec{C F}$ 上的投影向量为 $\frac{5}{52} \vec{C F}$ D、直线 $A E$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{9}$

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10、古希腊数学家阿基米德在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (m, n \in Z)$ 的面积为 $2 \sqrt{3} π$ ，则该椭圆的离心率可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{33}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、若点 $A (m, 4)$ 和点 $B (- 1 - m, 3)$ 关于直线 $l : x + n y - 3 = 0$ 对称，则（）

A、 $m = 0$ B、 $m = 1$ C、 $n = 1$ D、 $n = - 1$

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12、已知 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 12 x$ 上的动点， $M$ 是抛物线的准线 $l$ 上的动点， $N (0, 4)$ ，则 $|P M| +$ $|P N|$ 的最小值是（）

A、5 B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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13、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别在棱 $B B_{1}, D D_{1}$ 上，且 $B E = \frac{1}{4} B B_{1}, D F = \frac{1}{3} D D_{1}$ .若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x y z =$ （）

A、 $- \frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{25}{12}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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14、过点 $P$ 作圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ 的两条切线，切点为 $A$ 、 $B$ ，若 $\cos ∠ A P B = \frac{4}{5}$ ，则四边形 $P A M B$ （ $M$ 为圆 $M$ 的圆心）的面积是（）

A、 $6$ B、 $9$ C、 $12$ D、 $18$

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15、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{30}$ ，实轴长为 $6 \sqrt{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{6} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} x$

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16、抛物线 $y = - 8 x^{2}$ 的焦点为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(0, - \frac{1}{16})$ C、 $(0, - \frac{1}{32})$ D、 $(4, 0)$

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17、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆 $C$ 上有一点 $P$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、 $8 + 4 \sqrt{3}$ B、12 C、 $8 + 4 \sqrt{7}$ D、20

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18、已知直线 $a x + 4 y + 5 = 0$ 与直线 $5 x + (a - 1) y + a = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、4 B、 $\frac{4}{9}$ C、 $- 4$ 或5 D、 $- 4$

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19、已知向量 $\vec{a} = (9, 8, 5), \vec{b} = (2, 1, 1)$ ，则 $|\vec{a} - 4 \vec{b}| =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、18 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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20、已知函数 $f (x) = x - \frac{6}{x} + 4$ .

(1)、若不等式 $f (\ln x) - a \ln x \geq 0$ 在 $[\frac{1}{e^{2}}, 1)$ 上恒成立，求a的取值范围；

(2)、若函数 $y = f [\log_{2} (x^{2} + 4)] + b \cdot \frac{2}{\log_{2} (x^{2} + 4)} - 9$ 恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点.

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