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相关试卷

1、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都是1， $∠ B A D = 90 °, ∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60 °, M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{B M}$ ，并求 $|\vec{B M}|$ 的值；

(2)、求 $\vec{B M} \cdot \vec{A C_{1}}$ 的值.

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2、设函数 $f (x) = e^{x}, g (x) = \ln x$ ．

(1)、已知 $e^{x} \geq k x \geq \ln x$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求实数k的取值范围；

(2)、已知直线l与曲线 $f (x), g (x)$ 分别切于点 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, g (x_{2}))$ ，其中 $x_{1} > 0$ ．
①求证： $e^{- 2} < x_{2} < e^{- 1}$ ；
②已知 $(λ x_{2} - x + 1) e^{x} + x \leq 0$ 对任意 $x \in [x_{1}, + \infty)$ 恒成立，求 $λ$ 的最大值．

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3、已知函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增，在区间 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减．如图，四边形 $O A C B$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且满足 $\frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{\frac{4 ω}{3} - \cos B - \cos C}{\cos A}$ ．

(1)、证明： $b + c = 2 a$ ；

(2)、若 $b = c$ ，设 $∠ A O B = θ$ ， $(0 < θ < π)$ ， $O A = 2 O B = 2$ ，求四边形 $O A C B$ 面积的最大值．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且满足 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = \frac{1}{a_{2}}$ ，且 $b_{n + 1} = \frac{b_{n}}{3 b_{n} + 1}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{2^{a_{n}}}{b_{n}}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

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5、为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过 $100 km/h$ 的有20人，不超过 $100 km/h$ 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过 $100 km/h$ 的有5人，不超过 $100 km/h$ 的有15人．

(1)、完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；
平均车速超过 $100 km/h$ 人数
平均车速不超过 $100 km/h$ 人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计

(2)、以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过 $100 km/h$ 的车辆数为 $ξ$ ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 $ξ$ 的数学期望.
参考公式： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$P (K^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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6、已知向量 $\vec{m} = (\cos x + \sin x, \sqrt{3} \sin x), \vec{n} = (\cos x - \sin x, 2 \cos x)$ ，函数 $g (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求 $g (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $f (x) = g (x) - a$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恰有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知 $f (x) = 1 + \log_{3} x (1 \leq x \leq 9)$ ，设函数 $g (x) = f^{2} (x) + f (x^{2})$ ，则 $g {(x)}_{\max} - g {(x)}_{\min} =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{- x}, x \leq 0 \\ \log_{3} x, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (\frac{1}{3})) =$ ．

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9、如果项数有限的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{i} = a_{n - i + 1} (i = 1, 2 \dots, n)$ ，则称其为“对称数列”，设 $\{b_{n}\}$ 是项数为 $2 k - 1 (k \in N^{*})$ 的“对称数列”，其中 $b_{k}$ ， $b_{k + 1}$ ， $\dots$ ， $b_{2 k - 1}$ 是首项为 $50$ ，公差为 $- 4$ 的等差数列，则（）

A、若 $k = 12$ ，则 $b_{1} = 10$ B、若 $k = 14$ ，则 $\{b_{n}\}$ 所有项的和为 $622$ C、当 $k = 13$ 时， $\{b_{n}\}$ 所有项的和最大 D、 $\{b_{n}\}$ 所有项的和不可能为 $0$

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10、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 内恰有3条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{8}, \frac{15}{8}]$ B、 $[\frac{5}{8}, \frac{9}{8})$ C、 $(\frac{5}{8}, \frac{13}{8}]$ D、 $[\frac{9}{8}, \frac{13}{8})$

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11、若函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1, e)$ 上存在零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[\frac{1}{e}, 1]$ C、 $(\frac{1}{e} - 1, 1)$ D、 $(1, \frac{1}{e} + 1)$

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12、已知角 $α, β$ 满足 $cos β = \frac{1}{3}, cos α cos (α + β) = \frac{1}{4}$ ，则 $cos (2 α + β) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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13、下列说法错误的是（）

A、某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B、数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C、在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.937$ ，根据小概率 $α = 0.05$ 值的独立性检验 $(x_{0.05} = 3.841)$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = n (n + 2)$ ，则 $a_{66} =$ （）

A、2 B、 $\frac{133}{66}$ C、 $\frac{137}{66}$ D、 $\frac{139}{66}$

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15、设命题 $p$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根， $q$ ：关于 $x$ 的方程 $4 x^{2} + (4 m - 2) x + 1 = 0$ 无实数根．

(1)、若 $p$ 为真，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 、 $q$ 有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 5} + \frac{1}{x - 7}$
（1）求函数的定义域；
（2）求 $f (11)$ ， $f (\frac{5}{4})$ 的值；
（3）当 $a > 0$ 时，求 $f (a)$ ， $f (a - 1)$ 的值．

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17、已知 $x > 1$ ，函数 $y = x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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18、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E为棱 $D D_{1}$ 的中点， $P$ 为底面正方形 $A B C D$ 内（含边界）的动点，则（）

A、三棱锥 $B_{1} - A_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、直线 $B_{1} E / /$ 平面 $A_{1} B D$ C、当 $A_{1} P ⊥ B D$ 时，点 $E$ 到平面 $A_{1} A P$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当 $∠ A P A_{1}$ 的正切值为2时，动点P的轨迹长度为 $\frac{π}{4}$

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19、设点 $A (4, - 3), B (- 2, - 2)$ ，直线 $l$ 过点 $P (1, 1)$ 且与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \geq 1$ 或 $k \leq - 4$ B、 $k \geq 1$ 或 $k \leq - \frac{4}{3}$ C、 $- 4 \leq k \leq 1$ D、 $- \frac{4}{3} \leq k \leq 1$

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20、已知点 $A (- 3, 1, 4)$ ，则点A关于x轴对称的点的坐标为（）

A、 $(3, - 1, - 4)$ B、 $(1, - 3, 4)$ C、 $(- 3, - 1, - 4)$ D、 $(4, - 1, 3)$

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	平均车速超过 $100 km/h$ 人数	平均车速不超过 $100 km/h$ 人数	合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828