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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 1 > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $M (1, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $A, B$ ，且当 $l ⊥ x$ 轴时， $|A B| = \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆 $C$ 的左焦点为 $F$ ，若 $△ F A B$ 的外心在 $y$ 轴上，求直线 $l$ 的方程.

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2、在三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c \cos B + \frac{4}{5} b = a$ .

(1)、求 $\cos C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $b {}_{2}+ c^{2} < 4$ ，求 $\frac{1}{5} b + \frac{1}{9} c^{2}$ 的取值范围.

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A A_{1}, B C$ 的中点， $A C = B C = \frac{1}{2} A A_{1}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ .

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $C_{1} B D$ 与平面 $B C C_{1}$ 夹角的余弦值.

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4、已知函数 $f (x) = (x + 2 b - 1) e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2} + 2 a b x - 1 (b > 0)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $\frac{\sqrt[b]{e}}{a}$ 的最大值为.

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5、为进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系，某校开设了音乐､美术､书法三门选修课程.该校某班级有5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程至少有一位同学选修，则恰好有2位同学选修音乐的概率为.

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6、已知复数 $z = 2 - i$ （其中 $i$ 为虚数单位）， $|\bar{z} + 1 - 2 i| =$ .

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7、已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < π)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{5π}{12})$ 上单调，对 $\forall x \in R$ ，满足 $f (x + \frac{π}{6}) = - f (\frac{π}{6} - x)$ ，且 $f (x) \geq f (\frac{5π}{12})$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $y = f (k x) (k > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上单调，则 $k \in (0, \frac{5π}{12}]$ B、若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, m)$ 上恰存在 $3$ 个极值点，则 $m \in [\frac{23}{12}, \frac{29}{12})$ C、函数 $y = f (x) + k$ 在 $x \in (0, \frac{3π}{2})$ 上有四个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，则 $f (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) = 0$ D、若 $0 < α < β < \frac{11π}{12}$ ， $f (α) = f (β) = \frac{6}{5}$ ，则 $\sin (α - β + \frac{π}{6}) = \frac{- 4 \sqrt{3} - 3}{10}$

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8、下列命题为真命题的是（）

A、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、“ $y = x + \frac{k}{x} \geq 2$ ”在 $R^{+}$ 上恒成立的充要条件是“ $k = 1$ ” C、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x) - 1$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (16) = 16$ D、设 $a = \frac{e}{90}$ ， $b = \frac{\sqrt[9]{e}}{10}$ ， $c = \frac{\sqrt[10]{e}}{9}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为 $a < c < b$

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9、点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的点，且有 $\vec{P A} + 7 \vec{P B} + 5 \vec{B C} = \vec{0}$ ，直线 $A P, C P$ 分别交 $B C, A B$ 于点 $D, E$ ，记 $△ A C D, △ A P E$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，则 $S_{1} : S_{2} =$ （）

A、 $\frac{21}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{16}{35}$ D、 $\frac{24}{35}$

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10、已知直线 $l : y = k x - \frac{k p}{2}$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆与抛物线 $C$ 的准线相切于点 $M (- 1, 2)$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $9$

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11、已知四面体 $A B C D$ 的各顶点都在同一球面上，若 $A B = B C = C D = D A = B D = 2 \sqrt{3}$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则该球的表面积是（）

A、 $100 π$ B、 $40 π$ C、 $20 π$ D、 $16 π$

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12、直线 $l : x + m y - m - 3 = 0$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ 截得的最短弦的弦长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、若 $tan α = 2$ ，则 $\sin^{2} α + \frac{\sin 2 α}{\tan α} =$ （）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $-$ $\frac{3}{5}$ D、 $-$ $\frac{6}{5}$

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14、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = S_{3} = 3$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $64$ B、 $48$ C、 $36$ D、 $24$

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15、一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率 $e = \sqrt{2}, P_{1}, P_{2}$ 分别为其两条渐近线上的点，若满足 $\vec{P_{1} P} = \vec{P P_{2}}$ 的点 $P$ 在双曲线上，且 $△ O P_{1} P_{2}$ 的面积为8，其中 $O$ 为坐标原点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过双曲线 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 的动直线与双曲线相交于 $A, B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$ ，使得 $\bar{M A} \cdot \vec{M B}$ 为常数?若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, C$ 上的动点 $P$ 到点 $F$ 的距离与到其准线 $l$ 的距离之和的最小值为2.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $A, B, D (a, 2)$ 是抛物线 $C$ 上不同的三点.
（i）若直线 $A B$ 过点 $F$ ，且交准线 $l$ 于点 $M, \vec{M A} = λ_{1} \vec{A F}, \vec{M B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，求 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值；
（ii）若直线 $D A, D B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 1$ ，求直线 $A B$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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18、已知 $\vec{a} = (1, - 1, \sqrt{2})$

(1)、求与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量 $\vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{c} = (0, m, n)$ 垂直，求 $m$ ， $n$ .

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为2的等比数列，各项均为正数，且 $a_{2} + a_{3} = 12$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n + 1}{2 a_{n}}, T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.若 $\frac{3}{2} - T_{n} \leq k (n + 3)$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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20、在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC $= \frac{π}{3}$ ， AB＝2，PA⊥平面ABCD．
（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD．
（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ 时，求PA的长．

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