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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2、要得到函数 $y = - s i n 2 x$ 的图象，只需要将函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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3、函数 $f (x) = \sqrt{x} + 3^{x} - 8$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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4、若命题“ $\exists x \in [0, 2]$ ， $x^{2} \geq m$ ”是真命题，则（）

A、 $m \leq 0$ B、 $m \leq 4$ C、 $m > 0$ D、 $m > 4$

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5、已知集合 $A = {x | (x - 2) (x + 4) < 0}$ ， $B = {x | 2^{x} < 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- 4, 3)$

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $B C$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点 $M, N$ ，若 $\vec{A B} = m \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A N}$ ， $m > 0, n > 0$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{8}{n}$ 的最小值（）

A、2 B、8 C、9 D、18

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7、已知 $|\vec{b}| = 5$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{12}{25} \vec{b}$ B、 $\frac{12}{25} \vec{a}$ C、 $\frac{25}{12} \vec{b}$ D、 $\frac{25}{12} \vec{a}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，那么 $x$ 的值是（）

A、 $- 13$ B、12 C、13 D、 $- 12$

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9、已知函数 $f (x) = (x + 1) ln x - a x + 2$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n + 1} < \frac{1}{2} ln (n + 1)$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 都成立．

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10、（每小问均须用数字作答）在 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 中选出4个数字组成一个四位数

(1)、可以组成多少个没有重复数字的四位数？

(2)、可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

(3)、若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？

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11、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若对于任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) > 2 (e - 1) x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ ．

(1)、求 $f^{'} (x)$ ；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(3)、若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = f (x) - 2$ 相切于点 $(x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq 0)$ $(x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq 0)$ ，求k的值．

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13、设函数 $f (x) = x \sin x + \cos x + x^{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- π, 2 π]$ 上的最小值与最大值．

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14、若 $f (x) = \log_{3} (3 x - 1)$ ，则 $f^{'} (2) =$ ．

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15、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} + e^{x} - 1 (x < 0)$ 与 $g (x) = \frac{7}{2} x^{2} - x + \ln (x + a)$ 的图象上存在关于y轴的对称点，则实数a的值可以是（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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16、下列关于函数 $f (x) = (2 x - x^{2}) e^{x}$ 的判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $f (- \sqrt{2})$ 是极小值， $f (\sqrt{2})$ 是极大值 C、 $f (x)$ 没有最小值，也没有最大值 D、 $f (x)$ 有最大值，没有最小值

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17、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + f^{'} (1) x^{2} + 1$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $e + 2$ B、 $e - 4$ C、 $e - 7$ D、 $e - 8$

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18、若 $S = 0! + 1! + 2! + 3! + \dots + 100!$ ，则S的个位数字是（）

A、0 B、3 C、4 D、8

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19、某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为 $y (t) = 3 t^{2} + 2 t + 3$ ，则该质点在 $t = 2$ 秒时的瞬时速度是（）．

A、14米/秒 B、17米/秒 C、19米/秒 D、21米/秒

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20、在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义这两个向量的“相离度”为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{|x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，容易知道 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 平行的充要条件为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = 0$ .

(1)、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (4, - 2)$ ，求 $d (\vec{a}, \vec{b})$ ；

(2)、①已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ_{1}$ ，且 $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 的夹角为 $θ_{2}$ ，证明： $d (\vec{a}, \vec{b}) = d (\vec{c}, \vec{d})$ 的充分必要条件是 $\sin θ_{1} = \sin θ_{2}$ ；
②在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ，角A的平分线AD与BC交于点D，且 $A D = \frac{4}{3}$ ，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，求 $d (\vec{P A}, \vec{P B})$ .

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