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相关试卷

1、海水养殖场进行某水产品的新旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱测量各箱水产品的产量（单位： $kg$ ），其频率分布直方图如图所示：

(1)、根据频率分布直方图，填写下列列联表.
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量 $\geq 50 kg$
旧养殖法

新养殖法

合计

(2)、根据小概率 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.481
5.024
6.635
7.879
10.828

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2、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1}^{2} - S_{n}^{2} = 8 n$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1}$ 之间依次插入 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\dots$ 、 $a_{k}$ ，得到数列 $\{b_{n}\} : a_{1}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 、 $\dots$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $20$ 项和 $T_{20}$ ．

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3、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位： $t$ ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费 $x$ （万元）和年销售量 $y$ （单位： $t$ ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
$x$ （万元）
2
4
5
3
6
$y$ （单位： $t$ ）
2.5
4
4.5
3
6
（1）根据表中数据建立年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ ， $y$ 的关系为 $z = y - 0.05 x^{2} - 1.85$ ，根据（1）中的结果回答下列问题：
①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附：问归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{1}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{1} - \bar{x}) (y_{1} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{1} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{S} x_{1} y_{1} = 88.5$ ， $\sum_{i = 1}^{S} x_{1}^{2} = 90$ .

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4、杜牧《羊栏浦夜陪安会》的诗句中“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”描述的是唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球.游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目.甲､乙､丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过11次传递后，花又在甲手中的概率为.

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5、已知 $4 < a < 6, 3 < b < 4$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的取值范围是.

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6、若" $x > 2$ "是" $x > m$ "的必要不充分条件，则 $m$ 的取值范围是．

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7、对于函数 $f (x) = \frac{ln x}{\sqrt{x}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (4) < f (π^{2}) < f (9)$ B、 $f (x)$ 在 $x = e^{2}$ 处取得极大值 $\frac{2}{e}$ C、 $f (x)$ 有两个零点 D、若 $f (x^{2}) < k x - \frac{2}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k > e$

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8、已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下表所示，且满足 $E (ξ) = 0$ ，则下列选项正确的是（）
$ξ$
-1
0
2
$P$
$a$
$\frac{1}{2}$
$b$

A、 $D (ξ) = 1$ B、 $D (| ξ |) = 1$ C、 $D (2 ξ + 1) = 4$ D、 $D (3 | ξ | - 2) = 5$

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9、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x) + f (x) \ln 2 < 0$ ，则下列不等关系成立的是（）

A、 $2 f (1) > f (0)$ B、 $f (1) < 2 f (2)$ C、 $5 f (\log_{2} 5) < 4 f (2)$ D、 $3 f (\log_{2} 3) > 2 f (1)$

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10、“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）．

A、26种 B、31种 C、36种 D、37种

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11、在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则（）

A、 $X \sim B (100, 0.05)$ B、 $X \sim B (10, 0.05)$ C、 $X \sim B (100, 0.95)$ D、 $X \sim B (10, 0.95)$

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12、已知 ${(2 - \frac{1}{x})}^{23} = a_{0} + \frac{a_{1}}{x} + \frac{a_{2}}{x^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{22}}{x^{22}} + \frac{a_{23}}{x^{23}}$ ，则 $\frac{a_{0}}{2^{22}} + \frac{a_{1}}{2^{21}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{21}}{2} + a_{22} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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13、已知点 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点，若抛物线 $C$ 上的点 $A$ 到 $F$ 的距离为 $4$ ，则点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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14、将 $n (n \geq 2)$ 个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列 $\{a_{n}\}$ ，对任意 $1 \leq i < j \leq n$ ，如果 $a_{i} > a_{j}$ ，那么称数对 $(a_{i}, a_{j})$ 构成数列 $\{a_{n}\}$ 的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．

(1)、若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；

(2)、计算以下数列的逆序数．
（ⅰ） $a_{n} = - 2 n + 19 (1 \leq n \leq 100)$ ；
（ⅱ） $a_{n} = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{3})}^{n}, n 为奇数 \\ - \frac{n}{n + 1}, n 为偶数 \end{array} (1 \leq n \leq k)$ ；

(3)、已知数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 的逆序数为 $a$ ，求 $a_{n}$ ， $a_{n - 1}$ ， …， $a_{1}$ 的逆序数．

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15、已知函数 $f (x) = \frac{b^{x} + 2}{a^{x} + 1}$ （ $a \in N^{*}$ ， $b \in N^{*}$ ）的图象经过点 $A (- 1, \frac{5}{3})$ ， $B (1, \frac{4}{3})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} - m) + f ((m - 1) x) > 3$ 的解集.

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16、记集合 $S_{θ (x)} (a, b) = {(x, y) ∣ y = θ (x), a \leq x \leq a + 1, b \leq y \leq b + 1}$ ，已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{e^{x - 1}}$ ．

(1)、求 $S_{f (x)} (1, 1)$ 中的元素个数；

(2)、若存在 $b$ ，使得存在 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2}) \in S_{g (x)} (a, b)$ ，且 $y_{2} - y_{1} = 1$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、记 $S_{f (x)} (a, b) \cup S_{g (x)} (a, b) = S_{f (x) \cup g (x)} (a, b)$ ，对于给定的正整数 $n (n \geq 2)$ ，判断是否存在正整数 $i, j (1 \leq i < j \leq n)$ ，使得存在直线 $l : y = m$ ，满足 $l \cap S_{f (x) \cup g (x)} (i, 0) \neq \emptyset$ ，且 $l \cap S_{f (x) \cup g (x)} (j, 0) \neq \emptyset$ ．若存在，求出正整数对 $(i, j)$ 的个数（用 $n$ 表示）；若不存在，说明理由．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左焦点为 $F$ ，点 $A (- 2, 0)$ 在 $C$ 上．过 $F$ 且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点（ $M$ 在 $N$ 的上方）．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $k = 1$ ，求 $\frac{|M F|}{|N F|}$ ；

(3)、若 $\vec{P M} = 2 \vec{M A}$ ，直线 $P N$ 交 $x$ 轴于点 $T$ ，求 $|A T|$ 的取值范围．

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P ⊥ C P$ ， $A P = C P$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A P C$ ．

(1)、若 $B P ⊥ C P$ ，证明： $A B ⊥ A P$ ；

(2)、若 $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，且直线 $A P$ 与平面 $B C P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ，求 $B C$ ．

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19、已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ．

(1)、设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(2)、求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率．

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20、记锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{c}{b} - \frac{cos C}{cos B} = 2 cos A$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、延长 $A C$ 到 $D$ ，使 $A C = 2 C D, ∠ C B D = 15^{\circ}$ ，求 $tan A$ ．

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养殖法	箱产量		合计
养殖法	箱产量<50kg	箱产量 $\geq 50 kg$	合计
旧养殖法
新养殖法
合计

$P (χ^{2} \geq x_{α})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.481	5.024	6.635	7.879	10.828

$x$ （万元）	2	4	5	3	6
$y$ （单位： $t$ ）	2.5	4	4.5	3	6

$ξ$	-1	0	2
$P$	$a$	$\frac{1}{2}$	$b$