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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} + 2 a x + a, x < 0 \\ e^{x} + \ln (x + 1), x \geq 0 \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[0, + \infty)$

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2、式子 $3^{1 + {log}_{3} 2} + lg 2 + {log}_{7} 2 \times {log}_{2} 7 \times lg 5 =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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3、化简 $f (α) = \frac{\tan (π + α) \cos (2 π - α) \sin (\frac{π}{2} + α)}{\cos (π - α)} =$ （）

A、 $\sin α$ B、 $- \sin α$ C、 $\cos α$ D、 $- \cos α$

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4、下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点 $(0, 0) (- 1, - 1)$ 的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = x^{4}$ C、 $y = x^{- 3}$ D、 $y = x^{\frac{1}{3}}$

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5、函数 $f (x) = x \cdot \cos x$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6、命题“ $\forall x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 < 0$ B、 $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 > 0$ C、 $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 < 0$ D、 $\exists x \notin [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$

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7、若直线 $l$ 与函数 $f (x) = e^{x - 2} (x > 1)$ 和 $g (x) = ln x$ 的图象分别相切于点 $A, B$ ，则 $|A B| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 中的元素都是正整数，且 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ．若对任意 $x, y \in A$ ，且 $x \neq y$ ，都有 $| x - y | \geq \frac{x y}{25}$ 成立，则称集合A具有性质M．

(1)、判断集合 ${1, 2, 3, 4}$ 是否具有性质M；

(2)、已知集合A具有性质M，求证： $\frac{1}{a_{i}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{n - i}{25} (i = 1, 2, \dots, n)$ ；

(3)、已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由．

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9、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ，集合 $A = \{x \in N | x < 5\}$ ， $B = \{1, 3, 5, 7\}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 $\{0, 2, 4\}$ B、 $∁_{B} (A \cap B)$ C、 $A \cap (∁_{U} B)$ D、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$

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10、设 $a > b > c > 0$ ，则 $2 a^{2} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{a (a - b)} - 10 a c + 25 c^{2}$ 的最小值是

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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11、若“ $x > 2 a^{2} - 3$ ”是“ $1 \leq x \leq 4$ ”的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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12、下面命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充要条件 B、命题“若 $x < 1$ ，则 $x^{2} < 1$ ”的否定是“存在 $x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ ” C、设 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要不充分条件 D、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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13、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ B、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ D、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$

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14、已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A \cap ∁_{U} B = {1, 3, 4, 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 ${2, 5, 7}$ B、 ${1, 3, 4, 6}$ C、 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ D、 $\emptyset$

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15、已知集合 $P = {x| x (x - 1) \geq 0}, Q = \{x| \frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $P \cap Q$ 等于（）

A、 $\emptyset$ B、 $\{x| x \geq 1\}$ C、 ${x| x > 1}$ D、 ${x| x \geq 1 或 x < 0}$

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16、下列求导运算正确的是（）

A、 ${[\cos (- 2 x)]}^{'} = 2 \sin x$ B、 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ C、 ${(e^{3})}^{'} = 3 e^{2}$ D、 ${(\lg 2 x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 10}$

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17、若 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

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18、设函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 3^{- x}}{2}, g (x) = \frac{3^{x} + 3^{- x}}{2}$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 为奇函数 B、 $f (2 x) = 2 f (x) \cdot g (x)$ C、函数 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的值域为 $(- 1, 1)$ D、函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 在其定义域上为增函数

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19、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} - b ln x$ ，其中 $b \in R$ ．

(1)、当 $b = 1$ 时，求 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在极值，求 $b$ 的取值范围．

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20、已知公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{1}, a_{3} - 1, S_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} a_{n + 1} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项的和.

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