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相关试卷

1、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{39} = 10$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、20 B、10 C、 $\sqrt{10}$ D、5

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2、小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（）

A、5种 B、6种 C、8种 D、9种

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3、在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E为AB的中点，将 $△ A D E$ 沿直线DE翻折至 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得二面角 $A_{1} - D E - C$ 为直二面角，若 $P$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，则（）

A、 $B P //$ 平面 $A_{1} D E$ B、 $D P ⊥ E C$ C、异面直线 $P B$ ， $A_{1} D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、 $A_{1} B$ 与平面 $P B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$

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4、对任意正整数 $n$ ，记集合 $A_{n} = \{(a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) |a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ 均为非负整数，且 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = n\}$ ，集合 $B_{n} = \{(b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) |b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}$ 均为非负整数，且 $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} = 2 n\}$ ．设 $α = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) \in A_{n}$ ， $β = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) \in B_{n}$ ，若对任意 $i \in \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, n\}$ 都有 $a_{i} \leq b_{i}$ ，则记 $α ≺ β$ ．

(1)、写出集合 $A_{2}$ 和 $B_{2}$ ；

(2)、证明：对任意 $α \in A_{n}$ ，存在 $β \in B_{n}$ ，使得 $α ≺ β$ ；

(3)、设集合 $S_{n} = \{(α, β) |α \in A_{n}, β \in B_{n}, α ≺ β\}$ 求证： $S_{n}$ 中的元素个数是完全平方数．

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5、一段路上有100个路灯 $L_{1}, L_{2}, \dots, L_{100}$ 一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个 $k \in \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ ，当第 $k$ 名行人经过时，他将所有下标为 $k$ 的倍数的路灯 $L_{k}, L_{2 k}, \dots$ 的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有个路灯处于开着的状态.

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6、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} = 20, a_{2} \cdot a_{8} = 8$ ，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{6}} + \frac{1}{a_{8}}$ 的值为（）

A、20 B、10 C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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7、如图（1），在直角梯形 $A B C P$ 中， $A P // B C$ ， $A P ⊥ A B$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A P$ ， $D$ 是 $A P$ 的中点， $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $P D$ 的中点，将 $△ P C D$ 沿 $C D$ 折起得到四棱锥 $P - A B C D$ ，如图（2）．

(1)、在图（2）中，求证： $E F ⊥ P A$ ；

(2)、在图（2）中， $G$ 为线段 $B C$ 上任意一点，若 $A P //$ 平面 $E F G$ ，请确定点 $G$ 的位置．

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8、《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B, A B = \sqrt{2}$ ，其外接球的表面积为 $16 π$ ，当此鳖臑的体积 $V$ 最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = 2 \sqrt{2}$ B、此鳖臑的体积 $V$ 的最大值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的内切球的半径为 $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{2}$

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9、已知 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} + 1$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 16]$ B、 $[- 4, 8]$ C、 $[- 2, 16]$ D、 $[- 3, 13]$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，点Р在 $△ A B C$ 所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在 $△ A B C$ 的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心

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11、若圆台的高是 $2 \sqrt{3}$ ，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为 $60^{\circ}$ ，则这个圆台的侧面积是（）

A、 $24 π$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、 $9 \sqrt{3} π$ D、 $27 π$

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12、如图，有一古塔，在 $A$ 点测得塔底位于北偏东 $30 °$ 方向上的点 $D$ 处，在 $A$ 点测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $A$ 的正东方向且距 $D$ 点 $75 m$ 的 $B$ 点测得塔底位于西偏北 $45 °$ 方向上（ $A$ ， $B$ ， $D$ 在同一水平面），则塔的高度 $C D$ 约为（） $(\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、 $34.20 m$ B、 $35.35 m$ C、 $35.75 m$ D、 $36.20 m$

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13、已知水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示， $A^{'} C^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则边AB上的中线的实际长度为（）

A、4 B、 $\sqrt{19}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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14、如果 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）

A、 $\vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{1}}$ C、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}, 6 \vec{e_{2}} - 2 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$

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15、已知倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $A B$ 中点， $O$ 为坐标原点，则直线 $O P$ 的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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16、已知集合 $M = \{θ_{1}, θ_{2}, \cdot \cdot \cdot, θ_{n}\}$ ， $n \in N^{*}$ ，设函数 $f_{n} (x) = \sin^{2} (x - θ_{1}) + \sin^{2} (x - θ_{2}) + \cdot \cdot \cdot +$ $\sin^{2} (x - θ_{n})$ .

(1)、当 $M = \{0, \frac{π}{2}\}$ 和 $\{\frac{π}{4}, \frac{π}{2}\}$ 时，分别判断函数 $f_{2} (x)$ 是否是常数函数？说明理由；

(2)、已知 $M \subseteq \{θ | θ = \frac{kπ}{12} ， k \in N ， k \leq 12\}$ ，求函数 $f_{3} (x)$ 是常数函数的概率；

(3)、写出函数 $f_{n} (x) (n \geq 2)$ 是常数函数的一个充分条件，并说明理由.

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17、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - \frac{1}{a}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有极小值，且极小值小于0，求 $a$ 的取值范围．

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18、“ $x > 2$ ”是“ $x^{2} > 2 x$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(0, 3)$ ，且不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - (2 t - 4) x$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上有最小值 $2$ ，求实数 $t$ 的值；

(3)、设 $h (x) = m x^{2} - 4 x + m$ ，若当 $x \in [- 1, 2]$ 时，函数 $y = h (x)$ 的图象恒在 $y = f (x)$ 图象的上方，求实数m的取值范围.

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20、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数．

(1)、求a，b的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (2 k t^{2} + k t) + f (k t - k t^{2} + 1) < 0$ 恒成立，求k的取值范围．

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