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相关试卷

1、方程 $\cos (\frac{π}{2} \sin x) = \sin (\frac{π}{2} \cos x)$ 在 $[0, π]$ 上的实数解有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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2、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $A B_{1} E$ 将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（）

A、 $\frac{15}{7}$ B、 $2$ C、 $\frac{17}{7}$ D、 $\frac{24}{7}$

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3、若 $\vec{a} = (- 2, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2cos \frac{π}{3},2sin \frac{π}{3})$ ，下列正确的是（）

A、 $\vec{b} / / (\vec{a} - \vec{b})$ B、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ $在$ $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$

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4、若直线 $l : y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 有两个不同交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ D、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, + \infty)$

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5、若复数 $z$ 的实部大于0，且 $z (\bar{z} + 1) = 6 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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6、已知集合 $A = \{x ||x - 1| < 3, x \in Z\}$ ， $B = \{x |y = \ln (x - 1)\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0}$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2^{n} = 2 a_{n} + 1$

(1)、求 $a_{1}$ ，并证明数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$

(3)、若 $2 a_{k}^{2} < S_{2 k}$ ，求正整数 $k$ 的所有取值．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A D = C D = 2 ， B C = 3 ， P C = 2 \sqrt{3} ， E 为 P B$ 的中点， $C D ⊥ B C$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是直角梯形.

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - 5 x + b$ 在 $x = 5$ 处取得极小值，且极小值为 $- 33$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上的最值.

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10、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2024 \times 2025} =$ ．

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11、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第 $1$ 行开始，第 $n$ 行从左至右的数字之和记为 $a_{n}$ ，如 $a_{1} = 1 + 1 = 2$ ， $a_{2} = 1 + 2 + 1 = 4$ ， $\dots$ ， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，依次去掉每一行中所有的 $1$ 构成的新数列 $2$ 、 $3$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $6$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $10$ 、 $5$ 、 $\dots$ ，记为 $\{b_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，则下列说法正确的有（）
$\begin{array}{l} \begin{matrix} 第 1 行 & 1 & 1 \\ 第 2 行 & 1 & 2 & 1 \\ 第 3 行 & 1 & 3 & 3 & 1 \\ 第 4 行 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 第 5 行 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \dots & \dots \end{matrix} \end{array}$

A、 $S_{10} = 1022$ B、 $\{\frac{2 a_{n}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{a_{n + 2} - 2}$ C、 $b_{57} = 66$ D、 $T_{57} = 4150$

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12、已知 $(2 + x) {(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则（）

A、 $a_{0}$ 的值为2 B、 $a_{5}$ 的值为80 C、 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + a_{5})}^{2}$ 的值为 $- 3^{6}$ D、 $\sum_{i = 0}^{6} (2^{6 - i} \cdot a_{i}) = 0$

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13、设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导函数 $f^{'} (x)$ ，对任意实数 $x$ ，都有 $f (x) = f (- x) + 2 x$ ，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) < 2 x + 1$ ，若 $f (2 - a) \leq f (- a) - 4 a + 6$ ，则实数 $a$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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14、在 ${(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7} + \dots + {(1 - x)}^{12}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是（）

A、690 B、 $- 690$ C、710 D、 $- 710$

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15、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = 20$ ， $S_{6} = 12 S_{2}$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、40 B、60 C、76 D、88

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16、在送课下乡支教活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教师到三所薄弱学校支教，每所学校至少安排一名教师，且甲、乙两名教师安排在同一学校支教，丙、丁两名教师不安排在同一学校支教，则不同的安排方法总数为（）

A、20 B、24 C、30 D、36

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、2 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = n^{2} + 1$ ，则122是该数列的（）

A、第10项 B、第11项 C、第12项 D、第13项

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19、已知函数 $f (x) = e^{a x} - \frac{ln x}{x} - \frac{1}{x} (a \geq 0)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e^{2}]$ 的值域；

(2)、证明： $f (x)$ 存在唯一的极值点 $x_{0}$ ，且 $\frac{1}{a + 1} \leq x_{0} \leq 1$ ；

(3)、若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，证明： $2 a sin \frac{2}{3 a} > 1$ ．

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20、设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，经过点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A、若 $|F A| = 3 |F B|$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ B、以线段 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相切 C、存在直线 $A B$ ，使得 $O A ⊥ O B$ D、若直线 $A O$ 交 $l$ 于点 $D$ ，则 $B D ⊥ l$

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