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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ， $g (x) = 2^{x} + a$ ，若 $\exists x_{1} \in [2, 3]$ ， $\forall x_{2} \in [2, 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是( ).

A、 $(- \infty, - \frac{11}{3}]$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3}]$ D、 $(- \infty, - 4]$

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2、“ $x > 2$ ”是“ $2^{x} - \frac{4}{2^{x}} > 3$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知 $\cos θ = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (θ - \frac{π}{2}) \tan 2 θ =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{15}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{15}$ C、 $\frac{14 \sqrt{2}}{15}$ D、 $- \frac{14 \sqrt{2}}{15}$

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4、下列坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、设集合 $M = \{x | x^{2} - 2 x < 0\}, N = \{x | x \leq 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2)$

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6、每个正整数 $k$ 有唯一的“阶乘表示”为（ $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{m}$ ），这些 $a_{i}$ 满足 $k = 1! \cdot a_{1} + 2! \cdot a_{2} + \cdot \cdot \cdot + m! \cdot a_{m}$ ，其中每个 $a_{i} (i = 1, 2, 3 \cdot \cdot \cdot, m, m \in N^{*})$ 都是整数，且 $0 \leq a_{i} \leq i$ ， $a_{m} > 0$ .

(1)、求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；

(2)、若正整数 $k$ 对应的“阶乘表示”为（ $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{m}$ ），正整数 $k^{'}$ 对应的“阶乘表示”（ ${a^{'}}_{1}$ ， ${a^{'}}_{2}$ ， …， ${a^{'}}_{s}$ ） $(a_{1}^{'}, a_{2}^{'}, \dots, a_{s}^{'})$ ，其中 $m > s$ ，求证： $k > k^{'}$ ；

(3)、对正整数 $k$ ，记 $b_{n} = [\frac{k}{n!}] (n \leq m, n \in N^{*})$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，数列 $\{(n - 1) b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $k - S_{m} = 2024$ ，当 $k$ 最小时，求 $a_{m}$ 的值.

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7、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是.

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8、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离是4，直线 $l$ 过它的焦点 $F$ 且与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点， $M$ 为弦 $A B$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的焦点坐标是 $(2, 0)$ B、 $x_{1} x_{2} = 4$ C、若 $x_{1} + x_{2} = 5$ ，则 $|A B| = 7$ D、若以 $M$ 为圆心的圆与 $C$ 的准线相切，则 $A B$ 是该圆的一条直径

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9、设 $a \in R, F_{a} (x) = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}, x \in (a - 1, a) \cup (a, a + 1)$ ．若函数 $y = f (x)$ 满足 $F_{a} (x) > 0$ 恒成立，则称函数 $y = f (x)$ 具有性质 $P (a)$ ．

(1)、判断 $y = sin x$ 是否具有性质 $P (0)$ ，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = e^{x} - x$ ，若函数 $y = f (x)$ 具有性质 $P (a)$ ，求实数a的取值范围；

(3)、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为R ，且对任意 $a \in R$ 以及 $t \in (0, 1)$ ，都有 $F_{a} (a - 1) < F_{a} (a + 1)$ ．若当 $x < 0$ 时，恒有 $f (x) < 0$ ．求证：函数 $y = f (x)$ 对任意实数a均具有性质 $P (a)$ ．

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10、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，设 $P$ 为 $Γ$ 上的一点．

(1)、当 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ 时，求 $|P F_{2}|$ 的值；

(2)、若 $P$ 点坐标为 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则在 $Γ$ 上是否存在点 $Q$ 使 $△ A P Q$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ，若存在，请求出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、已知 $D$ 点坐标为 $(0, m)$ ，过点 $P$ 和点 $D$ 的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于另一点 $T$ ，当直线 $l$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴均不平行时，有 $\vec{P T} \cdot (\vec{B P} + \vec{B T}) = 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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11、2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为 $[50, 60) 、 [60, 70) 、 [70, 80) 、 [80, 90) 、 [90, 100]$ 共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．

(1)、求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；

(2)、若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；

(3)、已知这1000名观众的评分位于 $[50, 80)$ 上的均值为67，方差为64.7，位于 $[50, 100]$ 上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于 $[80, 100]$ 上的均值与方差．

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12、如图，已知在四棱柱 $A B C D - E F G H$ 中， $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $N$ 、 $M$ 分别是 $E F$ 、 $H D$ 的中点．

(1)、求证： $H N //$ 平面 $A F M$ ；

(2)、若底面 $A B C D$ 为梯形， $A B // C D, A B = E A = 2, A D = D C = 1$ ，异面直线 $A B$ 与 $E H$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ ．求直线 $A N$ 与平面 $A F M$ 所成角的正弦值．

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13、设 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ ．

(1)、当函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ 时，求 $y = f (x) + cos x$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值；

(2)、若 $ω = 2$ ，且在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，锐角 $A$ 满足 $f (A + \frac{π}{6}) = 0$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4$ ，求 $a$ 的最小值．

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前四项分别为 $a_{1} 、 a_{2} 、 a_{3} 、 a_{4}$ ，对于以下两个命题，说法正确的是（）．
①存在等比数列 $\{a_{n}\}$ 以及锐角α，使 $\{sin α, cos α, tan α\} = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}$ 成立．
②对任意等差数列 $\{a_{n}\}$ 以及锐角α，均不能使 $\{sin α, cos α, tan α, cot α\} = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 成立．

A、①是真命题，②是真命题 B、①是真命题，②是假命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①是假命题，②是假命题

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15、已知边长为2的正四面体 $A - B C D$ 的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足 $\vec{O P} = x \vec{O C} + y \vec{O B} + z \vec{O D}, x 、 y 、 z \in [0, 1]$ ，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、． $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、已知事件 $A$ 和事件 $B$ 满足 $A \cap B = \emptyset$ ，则下列说法正确的是（）．

A、事件 $A$ 和事件 $B$ 独立 B、事件 $A$ 和事件 $B$ 互斥 C、事件 $A$ 和事件 $B$ 对立 D、事件 $\bar{A}$ 和事件 $\bar{B}$ 互斥

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17、已知 $α \in (0,π)$ ，则“ $sin (π - α) = \frac{1}{2}$ ”是“ $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）条件．

A、充要 B、充分非必要 C、必要非充分 D、既非充分又非必要

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18、已知项数为10的数列 $\{a_{n}\}$ 中任一项均为集合 ${x | 1 \leq x \leq 10, x \in N}$ 中的元素，且相邻两项满足 $a_{n} < a_{n + 1} + 3, n = 1, 2, \dots, 9$ ．若 $\{a_{n}\}$ 中任意两项都不相等，则满足条件的数列 $\{a_{n}\}$ 有个．

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19、2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为．（用含有H、h、m、t的式子表示）

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20、双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，若以点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与 $C_{1}$ 在第一象限交于点P，且 $∠ P F_{1} F_{2} = \frac{π}{4}$ ，则 $C_{1}$ 的离心率为．

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